Pré-Vestibular ⇒ (UECE) Expressão Trigonométrica - Razões Inversas Tópico resolvido

[ismaelmat]

Se cotg [tex3]\theta[/tex3] + tg [tex3]\theta[/tex3] = 8, com 0 < [tex3]\theta[/tex3] < [tex3]\pi[/tex3]/2, então (sen [tex3]\theta[/tex3] + cos [tex3]\theta[/tex3])² é igual a:

a) 3/4

b) 4/5

c) 5/4

d) 4/3

Gabarito:

Resposta

---

C

[rippertoru]

Olá amigo.

Primeiro desenvolva a primeira equação:
[tex3]cotg(\theta) + tg(\theta) = 8[/tex3]
[tex3]\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)} + \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} = 8[/tex3]

Que resultará em

[tex3]cos^{2}(\theta) + sen^{2}(\theta) = 8sen(\theta)cos(\theta)[/tex3]

Como

[tex3]cos^{2}(\theta) + sen^{2} = 1[/tex3], temos

[tex3]1 = 8sen(\theta)cos(\theta)[/tex3]

[tex3]sen(\theta)cos(\theta) = \frac{1}{8}[/tex3]

Volte a primeira equação
[tex3]cotg(\theta) + tg(\theta) = 8[/tex3] e faça
[tex3]\frac{1}{tg(\theta)} + tg(\theta) = 8[/tex3]
[tex3]\frac{tg^{2}(\theta) + 1}{tg(\theta)} = 8[/tex3]
[tex3]tg^{2}(\theta) + 1 = 8tg(\theta)[/tex3]
[tex3]tg^{2}(\theta) - 8tg(\theta) + 1 = 0[/tex3]

Como
[tex3]tg(\theta) = \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}[/tex3], substitua na ultima equação

[tex3]\frac{sen^{2}(\theta)}{cos^{2}(\theta)} -8\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} + 1 = 0[/tex3]

Que resulta em

[tex3]sen^{2}(\theta) -8sen(\theta)cos(\theta) + cos^{2}(\theta) = 0[/tex3]

Podendo ser representado da seguinte forma

[tex3](sen(\theta) + cos(\theta))^{2} = 10sen(\theta)cos(\theta)[/tex3]

Como [tex3]sen(\theta)cos(\theta) = \frac{1}{8}[/tex3], temos

[tex3](sen(\theta) + cos(\theta)^{2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}[/tex3]


Espero ter ajudado!

[ismaelmat]

Eu queria saber como o -8 virou 10! na parte podendo ser representado dessa forma, como o -8 pode ser representado por 10 o certo não seria 8.1/8 = 1 mas só que aew não teria gabarito, estou confuso nessa parte!

[rippertoru]

Adicionei [tex3]+10sen(\theta)cos(\theta)[/tex3] nos dois lado da equação.

Observe que:

[tex3](sen(\theta) + cos(\theta))^{2} = 10sen(\theta)cos(\theta)[/tex3]
[tex3]sen^{2}(\theta) +2sen(\theta)cos(\theta) + cos^{2}(\theta) = 10sen(\theta)cos(\theta)[/tex3]
[tex3]sen^{2}(\theta) +2sen(\theta)cos(\theta)- 10sen(\theta)cos(\theta)+ cos^{2}(\theta) = 0[/tex3]

Que é a mesma coisa que:
[tex3]sen^{2}(\theta) -8sen(\theta)cos(\theta)+ cos^{2}(\theta) = 0[/tex3]

Acho que isso esclarece a dúvida.

[Killin]

Uma forma mais prática:

[tex3]cotg\theta +tg\theta =8\rightarrow \frac{cos\theta }{sen\theta }+\frac{sen\theta }{cos\theta }=8\rightarrow \frac{sen^2\theta +cos^2\theta }{sen\theta \cdot cos\theta }=8\therefore sen\theta \cdot cos\theta= \frac{1}{8}[/tex3]

[tex3](sen\theta+cos\theta )^2=sen^2\theta +cos^2\theta +2(sen\theta \cdot cos\theta)=1+2(\frac{1}{8})=1+\frac{1}{4}=\frac{4+1}{4}=\boxed{\frac{5}{4}}[/tex3]