Olimpíadas ⇒ Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2015 Tópico resolvido

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Todas as letras na palavra [tex3]VUQAR[/tex3] são diferentes e escolhidas do conjunto {[tex3]1,2,3,4,5[/tex3]}. Encontre todas as soluções da equação.
[tex3]\frac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]\frac{3^2 \cdot 5^{2}}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Mas [tex3]max\{V-U-Q+A+R\} = 9[/tex3]

Então devemos ter;

[tex3]\begin{cases}
V-U-Q+A+R=9 \\
V-U-Q+A+R=5 \\
V-U-Q+A+R=3 \\
V-U-Q+A+R=1
\end{cases}[/tex3]

Primeira coisa a notar é que [tex3]V \neq 1[/tex3], pois do contrário teríamos [tex3]V-U-Q+A+R = 225[/tex3]

Também o lado esquerdo é sempre ímpar, então o V só pode ser 3 ou 5.

Outra coisa fácil de perceber é que [tex3]U \neq 1[/tex3]

Caso 1; V = 3

[tex3]\frac{3^2 \cdot 5^{2}}{V-U-Q+A+R}=3^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Nesse caso teríamos [tex3]V-U-Q+A+R = 5^{2}[/tex3] ou [tex3]V-U-Q+A+R = 3\cdot 5^{2}[/tex3]
Ambos absurdos.

Caso 2; V = 5

[tex3]\frac{3^2 \cdot 5^{2}}{V-U-Q+A+R}=5^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Nesse caso teríamos [tex3]V-U-Q+A+R = 3^{2}[/tex3] ou [tex3]V-U-Q+A+R = 5\cdot 3^{2}[/tex3]

A primeira opção é possível, então V = 5 e [tex3]V-U-Q+A+R = 9[/tex3], ou seja;

[tex3]5^{2}=5^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]
[tex3]2={{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Perceba que devemos ter; U = 2 e Q = 1

Já temos V = 5, U = 2, Q = 1

[tex3]V-U-Q+A+R = 9[/tex3]
[tex3]5-2-1+A+R = 9[/tex3]
[tex3]A+R = 7[/tex3]

O A e o R podem variar entre si, não faz diferença

Logo as soluções [tex3](V,U,Q,A,R)[/tex3] são [tex3]\boxed { (5,2,1,3,4) }[/tex3] e [tex3]\boxed {(5,2,1,4,3)}[/tex3]