IME / ITA ⇒ (EN - CEP-CEM - 2014) Transformação Linear Tópico resolvido

[pedronepo]

A transformação linear T:R²[tex3]\rightarrow[/tex3] R² tem polinômio característico [tex3]p(\lambda[/tex3]) = [tex3]\lambda^2[/tex3] - 5 [tex3]\lambda + 6[/tex3] sendo assim, a imagem do triangulo de vértices [tex3](0,\ 0)[/tex3], [tex3](1,\ 0)[/tex3] e [tex3](0,\ 1)[/tex3] por [tex3]T[/tex3] tem área igual a:

A) [tex3]1/6[/tex3]
B) [tex3]1/3[/tex3]
C) [tex3]1/2[/tex3]
D) [tex3]3[/tex3]
E) [tex3]6[/tex3]

resp: 3

[undefinied3]

Teorema de Cayley-Hamilton: [tex3]p(A)=A^2-tr(A)A+det(A)I=O[/tex3]
Por inspeção, [tex3]det(A)=6[/tex3].
O determinante de uma transformação pode ser interpretado como o quanto ele varia a área de uma figura após a transformação. O triângulo inicial tem área 1/2. O determinante é 6, assim [tex3]\frac{A_{final}}{\frac{1}{2}}=6 \rightarrow A_{final}=3[/tex3]

[gabrielluigi]

Olá! Fiquei um tanto perplexo com essa resolução pois esse é um concurso para engenheiros e eu, sendo um, nunca tinha ouvido falar no Teorema de Cayley-Hamilton. Acabei descobrindo depois que vi sua resolução que o teorema diz que uma matriz A quadrada sempre satisfaz seu próprio polinômio característico, sendo assim:
[tex3]p(A)=A^2-5A+6I=0[/tex3]
Agora imagine minha surpresa quando percebi que o teorema, se aplicado a uma matriz 2x2 (pelo que eu entendi) ainda pode ser escrito na notação que você utilizou:
[tex3]p(A)=A^2-tr(A)A+det(A)I=0[/tex3]
Dessa forma conseguimos saber o valor do determinante de A sem precisar realizar nenhum cálculo. Simplesmente inacreditável.

Fiquei travado nesta mesma questão, ainda bem que já havia sido respondida aqui no fórum. Quem tem conhecimento do Teorema de Cayley-Hamilton e da notação que você utilizou não leva 2 minutos para resolver a questão, mas quem nem sabia que ele existia, como eu, não consegue desenvolver? Me fez pensar: essa seria a única forma de resolver o problema? Além disso, outra dúvida: como o problema seria interpretado se o determinante da matriz A, que eu entendi como sendo a da matriz transformação linear, fosse negativo? Analisaríamos a área final como o módulo?

[undefinied3]

Se você não conhecesse o teorema diretamente, iria ter que aplicar a definição de polinômio característico numa matriz genérica 2x2 e deduzir o teorema para este caso:

[tex3]\begin{pmatrix}
a-\lambda & b \\
c & d-\lambda \\
\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)[/tex3]

Como sabemos que o determinante é [tex3]ad-bc[/tex3], conseguimos identificar que o termo independente do polinômio é o determinante procurado.

E sim, se fosse negativo, pegaríamos em módulo. Um determinante negativo significa que a transformação linear em questão altera a convenção dos eixos (algo do tipo x para direita e y para cima se torna x para direita e y para baixo), mas não tem significado em relação a área.