Pré-Vestibular ⇒ (UEA - 2015) Geometria Analítica Tópico resolvido

[rayssa1234]

As equações das retas, r e s, perpendiculares entre si no ponto P são, respectivamente, y=-3x+6/k e y=kx-7/k-1, com k ∈ R, k ≠1 e k ≠ 0. Nessas condições, é correto afirmar que a soma das coordenadas do ponto P é:

a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.

Resposta

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resposta letra e

[paulo testoniMOD]

Hola.

Creio que a digitação inicial não está correta, a mesma deve ser assim.

[tex3](r)y=\frac{-3x}{k}+6\\
e\\
(s)y=\frac{kx-7}{k-1}[/tex3]

Sabemos da teoria que: se duas retas são perpendiculares, então a multiplicação entre seus coeficientes angulares resulta em −1:
[tex3]a_r*a_s=-1[/tex3]

Em outras palavras, o coeficiente de uma das retas é o oposto do inverso do coeficiente da outra.

[tex3]a_r=-\frac{1}{a_s}[/tex3]

Como:
[tex3]a_r*a_s=-1[/tex3]

coeficiente angular da reta r
[tex3]r=\frac{-3}{k}[/tex3]
coeficiente da reta s
[tex3]s=\frac{k}{k-1}[/tex3]
Logo:
[tex3]\frac{-3}{k}*(\frac{k}{k-1})=-1\\
-3=-1*(k-1)\\
-3=-k+1\\
k=4[/tex3]

Agora substituímos esse valor nas duas equações para encontrar x e y.

[tex3](r)y=\frac{-3x}{k}+6\\
(r)y=\frac{-3x}{4}+6[/tex3]

[tex3](s)y=\frac{kx-7}{k-1}\\
(s)y=\frac{4x-7}{4-1}\\
(s)y=\frac{4x-7}{3}[/tex3]

Por comparação, temos:

[tex3](r)y=(s)y\\
\frac{-3x}{4}+6=\frac{4x-7}{3}[/tex3]
[tex3]3*(-3x+24)=4*(4x-7)\\
-9x+72=16x-28\\
-9x-16x=-28-72\\
-25x=-100\\
x=4[/tex3]

[tex3]y=\frac{4x-7}{3}\\
y=\frac{4*4-7}{3}\\
y=\frac{16-7}{3}\\
y=\frac{9}{3}\\
y=3[/tex3]

Logo: [tex3]x+y=4+3=7[/tex3]
Letra e.