Olimpíadas ⇒ (Treinamento Olímpico Americano) Teoria dos Números Tópico resolvido

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Determine todos os pares [tex3](x, y)[/tex3] de números inteiros positivos, tais que:
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y|
+ 1.[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Se x=y

[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13x^{2}+ 7x^2} = 1[/tex3]

[tex3]x = y = 1[/tex3]

Se x > y

[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = x - y + 1[/tex3]

Fazendo x-y = t

[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (t+y) } =t + 1[/tex3]
[tex3]7t^{2} + ty+y^{2} = t^{3} + 3t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]ty+y^{2} = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y =\frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{t - (-y) }[/tex3]

Como y é inteiro, então -y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]

mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.

Se x < y

[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (y-x)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]

Fazendo y-x = t

[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]y \cdot (y-t) = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y = \frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{-(t-y)}[/tex3]

Como y é inteiro, então y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]

mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.

Logo as únicas soluções para o problema são [tex3]\boxed {(x,y) = (1,1)}[/tex3]