Pré-Vestibular ⇒ (UNIFESP - 2006) Função Composta Tópico resolvido

[naty_naty_n]

Se [tex3]A[/tex3] é o conjunto dos números reais diferentes de um, seja [tex3]f: A \to A[/tex3] dada por [tex3]f(x)=\frac{x+1}{x-1}[/tex3].
Para um inteiro positivo [tex3]n, f^n(x)[/tex3] é definida por

• [tex3]f^n(x)=\begin{cases}f(x), \,\,\text{se}\,\, n=1\\f(f^{n-1}(x)),\,\,\text{se}\,\,n\gt 1\end{cases}[/tex3]

Então [tex3]f^5(x)[/tex3] é igual a:

a)[tex3]\frac{x+1}{x-1}[/tex3]
b)[tex3]\frac{x}{x+1}[/tex3]
c) [tex3]x[/tex3]
d) [tex3]x^4[/tex3]
e)[tex3]\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5[/tex3]

[fabit]

Certamente [tex3]f^{(5)}(x)=f\circ f\circ f\circ f\circ f[/tex3]. Vou ver se uma manipulação na fórmula deixaria menos trabalhoso.

[tex3]\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}[/tex3]

Logo, f(x) pega o x e:
a) tira 1
b) inverte
c) dobra
d) soma 1

ao aplicar f sucessivamente, o passo (a) de cada etapa anula o passo (d) da anterior.

Sobra
a) tira 1
b) inverte e dobra cinco vezes
c) soma 1

O passo b se simplifica porque a cada duas rodadas ele se cancela. Aplicá-lo qualquer número ímpar de vezes é como aplicá-lo uma só vez.

Juntando tudo, [tex3]f^{(5)}(x)=\frac{2}{x-1}+1=f(x)[/tex3]

Letra A.