Ensino Médio ⇒ (EsPCEx-2016) PA e PG Tópico resolvido

[Xandinhuu]

A sequência [tex3](a_1,a_2, ..., a_{10})[/tex3], onde [tex3]a_1 = \frac{3}{2}, a_2=\frac{5}{2}, a_3=\frac{9}{2}, ... , a_10=\frac{1025}{2}[/tex3] é de tal forma que para cada [tex3]n\in [1,2, ...,10][/tex3] temos que [tex3]a_n = b_n + c_n[/tex3], onde [tex3](b_1,b_2, ...,b_{10})[/tex3] é uma PG com [tex3]b_1\neq 0[/tex3] e de razão [tex3]q\neq\pm1[/tex3] e [tex3](c_1,c_2, ..., c_{10})[/tex3] é uma PA constante.

Podemos afirmar que [tex3]a_1+a_2+ ... + a_{10}[/tex3] é igual a:

a) 98
b) 172
c) 260
d) 516
e) 1028

[LucasPinafiMOD]

[tex3]a_n = b_n + c_n = b_1 q^{n-1} + c \\ \begin{cases} a_1 = \frac 3 2 = b_1 + c \\ a_2 = \frac 5 2 = b_1 q + c \\ a_3 = \frac 9 2 = b_1 q^2 + c\end{cases}[/tex3]
Da primeira equação, [tex3]c= \frac 3 2- b_1[/tex3]. Logo, colocando esse resultado na segunda, [tex3]\frac 5 2 = b_1 q + \frac 3 2 - b_1 \therefore b_1 = \frac 1 {q-1}[/tex3]. Colocando esses resultados na terceira, [tex3]\frac 9 2 = b_1 q^2 + \frac 3 2 - b_1 \therefore b_1(q^2 - 1) = 3 \therefore b_1(q-1)
(q+1) = 3[/tex3]. Assim, como [tex3]q\neq \pm 1[/tex3], segue que [tex3]\frac{(q-1)(q+1)}{q-1}= 3 \therefore q+1 = 3 \therefore q = 2[/tex3]. Portanto, temos que [tex3]b_1 = 1[/tex3] e [tex3]c = \frac 1 2[/tex3]. Finalmente, [tex3]\sum_{i=1}^{10} a_i = \sum_{i=1}^{10} \left(b_n + c \right) = 10 c + \sum_{i=1}^{10} b_n = 10 \frac 1 2 + \frac{2^{10} - 1}{2-1}= 5+ 1023 = 1028[/tex3].