Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2017-1° Fase-Nível 3) Raciocínio Lógico Tópico resolvido

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Por duas vezes Benício juntou como na figura, três dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma das vezes ele somou os números de todas as faces que não ficaram em contato entre si. A diferença entre as somas obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca ficaram em contato entre si?

a) 1 e 4
b) 1 e 6
c) 2 e 5
d) 3 e 4
e) 2 e 6

[Ittalo25MOD]

temos que 1+2+3+4+5+6 = 21

Pela imagem, tirando um número de um dado A, é preciso também tirar de um dado B. Tirando um número do dado C é preciso também tirar de um dado B.

Nesse exemplo o dado B é esse que fica com outro encima dele.

sendo a, b os números diferentes retirados;

1+2+3+4+5+6 = 21-a
1+2+3+4+5+6 = 21-b
1+2+3+4+5+6 = 21-b-a

A soma dá 63-2a-2b

Fazendo a mesma coisa na segunda juntada, com os números c e d diferentes, a soma deu 63-2c-2d

Do enunciado;

[tex3]63-2a-2b-63+2c+2d = 16[/tex3]
[tex3]c+d-a-b = 8[/tex3]

Como o máximo de c+d é 11, então devemos ter;

[tex3]\begin{cases}
11-3=8 \\
10-2=8 \\
9-1=0
\end{cases}[/tex3]

Os dois últimos casos não são possíveis, pois teríamos;

[tex3]\begin{cases}
a+b = 1 \\
a+b =2
\end{cases}[/tex3]

Então a solução é;

c+d = 11
c = 6
d = 5
ou vice versa

a+b = 3
a = 2
b = 1
ou vice versa

sendo assim, os números que nunca ficaram em contato são; 3 e 4