Olimpíadas ⇒ (Treinamento Olímpico Iraniano) Geometria Plana Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Sabendo que [tex3]ABC[/tex3] é um triângulo isósceles e [tex3]BC > AB = AC.[/tex3] D, M são respectivamente os pontos médios de [tex3]BC, AB.[/tex3] X é um ponto tal que [tex3]BX┴ AC[/tex3] e [tex3]XD || AB.[/tex3] [tex3]BX[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] se interseptam em [tex3]H.[/tex3] Se [tex3]P[/tex3] é o ponto de interseção de [tex3]DX[/tex3] e a circunferência circunscrita de [tex3]AHX[/tex3](exceto [tex3]X[/tex3]), prove que a tangente de [tex3]A[/tex3] com a circunferência circunscrita ao triângulo [tex3]AMP[/tex3] é paralela a [tex3]BC.[/tex3]

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AB, AC e tudo mais são as retas ou os segmentos? To sofrendo um pouco pra construir a figura se forem todos segmentos.

[Auto Excluído (ID:17906)]

AB, AC e tudo mais são as retas ou os segmentos? To sofrendo um pouco pra construir a figura se forem todos segmentos.

Boa tarde amigo, creio que eu possa ter cometido algum erro ao traduzir a questão para o português.
Questão original:

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Sua tradução está certinha, eu que me confundi um pouco porque o enunciado original é meio estranho, pelo menos pra mim. Algumas coisas não ficam claras, mas o desenho saiu, agora to tentando resolver. Alguns segmentos ficam congruentes quando você monta o desenho, mas eu ainda tenho que provar os motivos, porque por enquanto eu só sei por causa de ter medido com a régua e pelo wolfram. Qualquer coisa posto minha tentativa.

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AHX e APX enxergam o mesmo arco
Trace a base média MY (provaremos que Y=G).
MY // BC (base média), AMY=ABC=ACB
Suponha que Y não seja G, então APY enxerga o mesmo arco que APG. Ora, mas então poderíamos pensar em
mover esse ponto G até encaixar em Y e ele enxergaria novamente o mesmo arco, o que é um absurdo, pois
a construção implica claramente Y e G estarem do mesmo lado na circunferência em relação a AP, e o descrito
só seria possível se estivessem em lados opostos.

Desse modo, repare como AGPM é um quadrilátero inscritível, mas AMP está no circuncírculo, assim
concluimos que G também está nesse circuncírculo de AMP
Daí, o mesmo circuncírculo de AMP é circuncírculo de um triângulo isósceles AMG. Segue que traçar uma tangente por A será paralelo a MG,
pois o triângulo é isósceles. Como MG//BC por ser base média, a tangente por A é paralela a BC,
CQD.