Ensino Médio ⇒ P.A -Soma de Cesaro - Progressão Aritmética Tópico resolvido

[lvc]

Para uma sequência finita (a1,a2, ... , an) de números reais, a soma de Cesaro é definida como [tex3]\frac{S_1 + S_2 + \dots + S_n}{n} [/tex3], onde Sk = a1 + a2 + ... + ak (1 ≤ k ≤ n)
Se a soma de Cesaro da sequência de 2016 termos ( a1, a2, ... , a2016) é 6051, então a soma de Cesaro da sequência de 2017 termos ( 1, a1, a2, ... , a2016) é:

a) 6049
b) 6053
c) 6052
d) 6050
e) 6051




Resolução:

[lvc]

@lvc,
Para uma sequência [tex3](a_1, a_2, \dots, a_n)[/tex3], a soma de Cesaro [tex3] C_n[/tex3] é dada por:[tex3]C_n = \frac{S_1 + S_2 + \dots + S_n}{n}\\
Onde: S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i[/tex3].
Para [tex3]n = 2016:C_{2016} = \frac{S_1 + S_2 + \dots + S_{2016}}{2016} = 6051[/tex3]
Portanto, a soma das somas parciais é:[tex3]\sum_{k=1}^{2016} S_k = 2016 \cdot 6051[/tex3].
A nova sequência possui 2017 termos e é definida como [tex3](b_1, b_2, \dots, b_{2017}), onde:b_1 = 1;b_2 = a_1;b_3 = a_2...b_{2017} = a_{2016}[/tex3]
As novas somas parciais[tex3] S'_k:S'_1 = b_1 = \mathbf{1};\\S'_2 = b_1 + b_2 = 1 + a_1 = \mathbf{1 + S_1};\\S'_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 1 + a_1 + a_2 = \mathbf{1 + S_2};\\S'_{2017} = 1 + a_1 + \dots + a_{2016} = \mathbf{1 + S_{2016}}[/tex3]
De forma geral, [tex3]S'_1 = 1 ~e~ S'_k = 1 + S_{k-1}~ para ~k \geq 2[/tex3]
Nova Soma de Cesaro [tex3]C'_{2017} = \frac{S'_1 + S'_2 + S'_3 + \dots + S'_{2017}}{2017}\\
Substituindo :C'_{2017} = \frac{1 + (1 + S_1) + (1 + S_2) + \dots + (1 + S_{2016})}{2017}[/tex3]
O número 1 aparece 2017 vezes na soma do numerador:
[tex3]C'_{2017} = \frac{2017 + (S_1 + S_2 + \dots + S_{2016})}{2017}
= \frac{2017 + (2016 \cdot 6051)}{2017}\\C'_{2017} = \frac{2017}{2017} + \frac{2016 \cdot 6051}{2017} = 1 + \frac{2016 \cdot 6051}{2017} = 1 + \frac{2016 \cdot (3 \cdot 2017)}{2017}\\C'_{2017} = 1 + 2016 \cdot 3= \boxed{6049_{//}}[/tex3]