Ensino Médio ⇒ Prisma Triangular Regular Tópico resolvido

[lecotrim]

Em um prisma triangular regular uma aresta da base mede [tex3]4\ m[/tex3] e a altura do polígono da base é a metade da altura do prisma. Qual é o volume desse prisma?

a) [tex3]48\ m^{3}[/tex3]
b) [tex3]16\ m^{3}[/tex3]
c) [tex3]64\ m^{3}[/tex3]
d) [tex3]24\ m^{3}[/tex3]
e) [tex3]96\ m^{3}[/tex3]

[olgario]

Olá!

Observe a imagem:

Prisma triangular regular-01.jpg (34.16 KiB) Exibido 16663 vezes

Se o prisma é triangular regular isso implica que a sua base seja um triângulo equilátero, daí o nome regular, o que implica que todos os lados do dito triângulo sejam iguais.
O que se pretende é o volume do prisma, o qual é dado por: [tex3]\;\frac{A_{b}\times\,h'}{3}[/tex3]
Comecemos por achar a 1ª:
Para tal precisamos de saber a altura [tex3]\,h\,[/tex3] do triângulo equilátero que constitui a base do prisma, dado que as arestas da base deste são os lados do triângulo equilátero, por pitágoras temos:
[tex3]h^2+2^2=4^2\;[/tex3] (Repare que h é o cateto maior e não a hipotenusa.)
[tex3]h^2+4=16[/tex3]
[tex3]h^2=16-4[/tex3]
[tex3]h^2=12[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{12}[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{4\times 3}[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{2^2\times 3}[/tex3]
[tex3]h=2\sqrt{3}[/tex3]

Portanto a área da base do prisma ou do triângulo equilátero será:
[tex3]A_{\triangle}=\frac{b\times h}{2}\;\rightarrow\;A_{\triangle}=\frac{4\times {2}\sqrt{3}}{2}\;\rightarrow\,A_{\triangle}=\frac{8 \sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,A_{\triangle}=4\sqrt{3}[/tex3]
Agora repare na seguinte afirmação do enunciado:

e a altura do polígono da base é a metade da altura do prisma

Ou seja, a altura do triângulo equilátero, polígono da base, é metade da altura do prisma, o que implica que a altura deste último (o prisma) seja o dobro da altura do primeiro (o polígono da base).
Assim sendo temos que a altura do prisma será:
[tex3]h'=2\times2\sqrt{3}\;\,\rightarrow\;\,h'=4\sqrt{3}[/tex3]

Como podemos concluir a altura do prisma é igual à área da sua base.

Sabendo-se que o volume de um prisma é dado pela formula já supra citada:
[tex3]\;\frac{A_{b}\times\,h'}{3}[/tex3], temos:
[tex3]V=\frac{4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]V=\frac{16\sqrt{3^2}}{3}[/tex3]
[tex3]V=\frac{16\times 3}{3}[/tex3]
[tex3]V=\frac{48}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=16\,m^3}[/tex3]

Espero ter ajudado.

[lecotrim]

Olá, muito obrigada pela explicação mas acredito que você confundiu, essa equação : [tex3]\;\frac{A_{b}\times\,h'}{3}[/tex3] é o volume da piramide. O volume do prisma não seria V= Área da Base x Altura ?