Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Determine quantas soluções reais possui a equação:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3} + (2x^{2} - x - 1)^{3} = 27(x^{2} - 1)^3[/tex3].

[Lonel]

CONTEM ERROS GROTESCOS, IGNOREM

Resposta

---

Travei nesta questão. Vou mandar o que fiz, depois tento completa-la.

Note que:

[tex3](2x^{2} - x - 1)^{3}=[(x-1)(2x+1)]^3[/tex3] e que [tex3]27(x^{2} - 1)^3=3^3[(x-1)(x+1)]^3[/tex3]

Irei chamar agora:

[tex3]k=x-1[/tex3]
[tex3]m=x+1[/tex3]
[tex3]z=2x+1[/tex3]

Temos então que:

[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3]

Aplicando a fatoração por diferença de quadrados, temos que:

[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m-z)(m^2+mz+z^2)[/tex3]

Se substituir os valores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]z[/tex3], ficaremos com:

[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]

Se existir uma forma de escrever [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3] como uma multiplicação de fatores elevados ao cubo, a questão ficaria pronta, pois seria só extrair a raiz cúbica da equação, e resolver a equação de segundo grau restante. Travei aqui.

[undefinied3]

Acho que a saída é por Bolzano.

[tex3]f(x)=(x^2+x-1)^3+(2x^2-x-1)^3-27(x^2-1)^3[/tex3]
[tex3]f(0)=-1-1+27=25[/tex3]
[tex3]f(1)=1[/tex3]
[tex3]f(2)=5^3+5^3-27.27=-479[/tex3]
Então encontramos uma raiz.
[tex3]f(3)=-9749[/tex3]
[tex3]f(4)=-64583[/tex3]
É, pode ter certeza que esse negócio não volta mais a passar pelo eixo x.
[tex3]f(-1)=7[/tex3]
[tex3]f(-2)=1[/tex3]
[tex3]f(-3)=-5699[/tex3]
Outra raiz.
[tex3]f(-4)=-46919[/tex3]
Também não volta a cruzar o eixo x não.

Então acaba tendo duas raízes. Coloquei no Wolfram e ele só dá resultado numérico, creio que seja bem claro que o objetivo não é calcular as raízes para avaliar se são reais ou complexas.

[Lonel]

CONTEM ERROS GROTESCOS, IGNOREM

Resposta

---

Dei uma pensada e consegui!

Vou adicionar zero à [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3]:

[tex3]7x^3+9x^2+3x=7x^3+9x^2+3x+x^3-x^3+3x^2-3x^2+3x-3x+1-1[/tex3]
[tex3]7x^3+9x^2+3x=8x^3+12x^2+6x+1-x^3-3x^2-3x-1[/tex3]

Note que:

[tex3]8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3[/tex3]
[tex3]-x^3-3x^2-3x-1=(-1)^3(x+1)^3[/tex3]

Logo temos que:

[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(2x+1)^3(-1)^3(x+1)^3[/tex3]

Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados da equação, encontramos:

[tex3]x^2+x+1=3k(2x+1)(x+1)[/tex3]

Como [tex3]k=x-1[/tex3]:

[tex3]x^2+x-1=3(x-1)(2x+1)(x+1)[/tex3]
[tex3]x^2+x-1=6x^3+3x^2-6x-3[/tex3]
[tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3]

Logo os valores de [tex3]x[/tex3] serão as raízes de [tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3]. Agora travei aqui, pois não estou conseguindo resolver esta equação. Vou tentar caçar alguma raiz, e quando eu achar eu executo o Teorema de Briot Ruffini e encontro as outras duas soluções. Mas por ser uma equação de terceiro grau, acredito que ela tenha 3 soluções (não estudei nada sobre equações de terceiro grau).

[undefinied3]

Lonel, infelizmente você cometeu um erro numa passagem lá no início:

"Temos então que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3]"

A fatoração ficou errada, o correto seria [tex3]k^3(3^3m^3-z^3)[/tex3]

[Lonel]

Puts. Agora faz mais sentido, pois joguei no wolfram e as raízes não batiam

Tambem cometi um erro grotesco na segunda mensagem

A solução é por Bonzano mesmo.

[Hanon]

Pesquisando pelo Fórum encontrei a solução desta questa, veja: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... 32#p101232 . Mas desta forma: [tex3](x^2+x-2)^3+(2x^2-x-1)^3=27(x^2-1)^3[/tex3]. A única diferença está dentro do primeiro parenteses, pois vc colocou -1 e neste tópico está -2.