Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Triângulos - Aspectos Angulares e Métricos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Na figura, [tex3]CÂB = 90°,[/tex3] [tex3]\overline{BC} = 2 \overline{BM} = 10cm[/tex3] e [tex3]\overline{ED} = 2.\overline{EN}.[/tex3] Se [tex3]\overline{DP}
= 15cm[/tex3] e [tex3]\overline{AN} = 7,5cm,[/tex3] calcule [tex3]\overline{MP}:[/tex3]

a) [tex3]4cm.[/tex3]
b) [tex3]4,5cm.[/tex3]
c) [tex3]5cm.[/tex3]
d) [tex3]5,5cm.[/tex3]
e) [tex3]6cm.[/tex3]

[Lonel]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3], encontramos que

[tex3]\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2[/tex3]
[tex3]\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=100[/tex3] (i)

Aplicando agora o teorema de Apolônio no [tex3]\triangle ABC[/tex3], temos que:

[tex3]\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(\overline{AM}^2+\overline{BM}\cdot\overline{CM})[/tex3]

Mas como [tex3]\overline{BM}=\overline{CM}=5cm[/tex3], então:

[tex3]\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(\overline{AM}^2+25)[/tex3] (ii)

Substituindo a equação (i) em (ii), obtemos:

[tex3]2(\overline{AM}^2+25)=100\Rightarrow\overline{AM}=5cm[/tex3]

Como:
[tex3]\overline{AN}=\overline{AM}+\overline{MN}\Rightarrow{\frac{15}{2}}=5+\overline{MN}[/tex3]
[tex3]\overline{MN}=\frac{5}{2}cm[/tex3]

Temos que [tex3]\overline{AN}[/tex3] é a mediana do [tex3]\triangle DAE[/tex3] referente ao vértice [tex3]A[/tex3], e [tex3]\overline{DP}[/tex3] é uma ceviana que passa por [tex3]M[/tex3]. Como há apenas um ponto [tex3]M[/tex3] na mediana [tex3]\overline{AN}[/tex3] que [tex3]2\overline{MN}=\overline{AM}[/tex3], e este ponto é conhecido como Baricentro. Assim, [tex3]\overline{DP}[/tex3] é a mediana referente ao vértice [tex3]D[/tex3], então temos que:

[tex3]\overline{MP}=\frac{\overline{DP}}{3}\Rightarrow\overline{MP}=\frac{\overline{15}}{3}\Rightarrow\overline{MP}=5cm[/tex3]

Então a resposta correta é a alternativa c)[tex3]5cm[/tex3].