Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A respeito de polinômios, julgue o item a seguir.

(1) Se o polinômio [tex3]p(x)=x^3-16x^2+41x+154[/tex3] possui três raízes reais e uma delas é igual a [tex3]7[/tex3], então a soma do módulo das outras duas raízes é inferior a [tex3]10[/tex3].

[Lonel]

Qualquer polinômio de terceiro grau, na forma [tex3]ax^3+bx^2+cx+d[/tex3], pode ser dada por:
[tex3]p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3], sendo [tex3]x_1,x_2,x_3[/tex3] as raízes de [tex3]p(x)[/tex3]

Como [tex3]7[/tex3] é uma de suas raízes, então [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3]x-7[/tex3]. Efetuando esta divisão, obtemos uma nova função que chamarei de [tex3]k(x)[/tex3], que será uma função de segundo grau, e duas de suas raízes serão as mesmas de [tex3]p(x)[/tex3]

Fazendo a divisão de polinômios, obtemos [tex3]k(x)=x^2-9x-22[/tex3], e por soma e produto é fácil visualizar que suas raízes são [tex3]x_1=11[/tex3] e [tex3]x_2=-2[/tex3]

Então [tex3]p(x)[/tex3] apresenta três raízes, [tex3]x_1=7[/tex3], [tex3]x_2=11[/tex3] e [tex3]x_3=-2[/tex3]. O problema pede para analizar a soma do módulo das raízes que não são sete. Esta soma [tex3]S[/tex3] será igual a:

[tex3]S=|x_2|+|x_3|\Rightarrow S=|11|+|-2|\Rightarrow S=13[/tex3]

Então a soma do módulo destas raízes é maior que [tex3]10[/tex3], assim o item (1) é falso.