Ensino Superior ⇒ Derivadas: Produto e Trigonométrica Inversa Tópico resolvido

[aprendiz123]

[tex3]y=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}-\frac{a^2}{2}\text{arccos}\frac{x}{a}[/tex3]

[jneto]

Aqui se trata de aplicar os resultados usuais: derivada do produto e a regra da cadeia. Só para recordar, vou deduzir a derivada da função [tex3]h(x) = {\arccos } x[/tex3]:

• [tex3]h(x) = {\arccos } x \Rightarrow \cos (h(x)) = x[/tex3]

Aplicando a regra da cadeia nessa última expressão:

• [tex3]h'(x)(- \sen (h(x))) = 1 \Rightarrow h'(x) = - \frac{1}{\sen (h(x))} = - \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2}(h(x))}}[/tex3]

Portanto:

• [tex3]h'(x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}[/tex3]

Agora vamos resolver o problema proposto:

• [tex3]f(x) = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} - \frac{a^{2}}{2}{\arccos }\(\frac{x}{a}\) \\
  f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{x}{2}\(\frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\) - \frac{a^{2}}{2}\(\frac{-1} {\sqrt{1 - \frac{x^{2}} {a^{2}}}}\)\(\frac{1}{a}\) \\
  f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} + \frac{a^{2}}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \\
  f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} +\frac{1}{2}\frac{(a^{2} - x^{2})}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \\
  f'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} \\
  f'(x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}}[/tex3]