Ensino Superior ⇒ Produto misto Tópico resolvido

[Renovaes]

Boa noite.

Calcule [u, v, w] sabendo que IIuII=1, IIvII=2, IIwII=3, e que (u, v, w) é uma base negativa, sendo u, v, w dois a dois ortogonais.

Gabarito: -6

Muito obrigado.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução ( usando coordenadas ):

Sejam [tex3]\vec{i}=\vec{u}[/tex3] , [tex3]\vec{j}=\frac{\vec{v}}{2}[/tex3] ,
[tex3]\vec{k}=-\frac{\vec{w}}{3}[/tex3]. Das informações que temos sobre [tex3]\vec{u}[/tex3] , [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] , é fácil concluir que [tex3]B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})[/tex3] é base ortonormal positiva. Além disso , [tex3]\vec{u}=(1,0,0)_{B}[/tex3] , [tex3]\vec{v}=(0,2,0)_{B}[/tex3] e [tex3]\vec{w}=(0,0,-3)_{B}[/tex3]. Então

[tex3][\vec{u},\vec{v},\vec{k}]=\left| \begin{array}{rcr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{array} \right|[/tex3]


Desenvolvendo, resulta que

[tex3][\vec{u},\vec{v},\vec{k}]=-6[/tex3]

que corresponde o valor do produto misto pedido.



Nota

Você poderia resolver também , "usando volume" , ou ainda " usando a definição de produto misto".


Bons estudos!