Concursos Públicos ⇒ (Oficial-PMBA-2014) Volumes Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Sabe-se que a capacidade de uma taça na forma de um cone equilátero é de [tex3]72\sqrt{3} \pi\ cm^3[/tex3]. Se uma pessoa colocou um líquido nessa taça até a altura correspondente a [tex3]2/3[/tex3] do raio máximo da taça, então sobre o volume de líquido nela colocado, em [tex3]cm^3[/tex3], pode-se afirmar:

01) É menor do que [tex3]6,2\pi[/tex3].
02) Está entre [tex3]6,2\pi[/tex3] e [tex3]7,5\pi[/tex3].
03) É igual a [tex3]7,5\pi[/tex3].
04) Está entre [tex3]7,5\pi[/tex3] e [tex3]8,8\pi[/tex3].
05) É igual a [tex3]8,8\pi[/tex3].

Resposta

---

Gabarito: 02)

[rodBR]

Sabendo que o cone é equilátero e da informação que a capacidade é igual a [tex3]72\sqrt{3} \pi\ cm^3[/tex3], temos:

[tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2h[/tex3]. Em um cone equilátero sabemos que a altura é expressa por [tex3]h=r\sqrt{3}[/tex3]..... [tex3](i)[/tex3]:
[tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot r\sqrt{3}[/tex3]. Substituindo [tex3]V=72\sqrt{3} \pi\ cm^3[/tex3]:
[tex3]72\sqrt{3} \pi=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3\cdot\sqrt{3}[/tex3]. Cancelando [tex3]\pi \sqrt{3}[/tex3]:
[tex3]72=\frac{1}{3}\cdot r^3[/tex3]
[tex3]r^3=216 \ \ \ ⟹ \ \ r=6 \ cm[/tex3]

Como foi colocado uma quantidade de liquido na taça que corresponde a uma altura de [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] do raio do "cone" . Então temos:
[tex3]h=\frac{2}{3}\cdot r[/tex3]
[tex3]h=\frac{2}{3}\cdot 6 \ \ \ ⟹ \ h=4 \ cm[/tex3].
De [tex3](i)[/tex3] podemos encontrar o raio referente ao volume de liquido colocado na taça ("cone"):
[tex3]h=r\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]4=r\sqrt{3} \ \ \ ⟹ \ r=\frac{4}{\sqrt{3}} \ cm[/tex3]

Como temos a altura e o raio, agora facilmente, podemos encontrar o volume do líquido colocado na taça ("cone"):
[tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2h[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi (\frac{4}{\sqrt{3}} )^2\cdot 4[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{16}{3}\cdot 4[/tex3]
[tex3]V=\frac{64\pi }{9} \ cm^3 \ \ \ \ ou \ \ \ V≅7,11 \ cm^3[/tex3]. Portanto, a resposta é a alternativa (02).



Att>>rodBR.