Ensino Médio ⇒ Sistema de equações trigonométricas Tópico resolvido

[marcviana]

Para [tex3]0\leq x+y \leq \pi[/tex3] e [tex3]0\leq x-y \leq \frac{\pi}{2}[/tex3] resolva o sistema a seguir:

[tex3]\begin{cases}
\sen(x)+\cos(y)=-1 \\
\sen(y)+\cos(x)=1
\end{cases}[/tex3]

[marcviana]

Ainda sem nenhuma idéia... alguém para ajudar?

[undefinied3]

Somando as duas:
[tex3]sen(x)+cos(x)+sen(y)+cos(y)=0 \rightarrow \sqrt{2}sen(x+45)+\sqrt{2}sen(y+45)=0[/tex3]
[tex3]2sen(\frac{x+y}{2}+45)cos(\frac{x-y}{2})=0[/tex3]
Então [tex3]sen(\frac{x+y}{2}+45)=0 \rightarrow x+y+\frac{\pi}{2}=2k\pi[/tex3], sem solução no intervalo dado.
[tex3]cos(\frac{x-y}{2})=0 \rightarrow \frac{x-y}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \rightarrow x-y=\pi+2k\pi[/tex3]
Também sem solução.

Então não há solução.

Apenas a titulo de visualização, o gráfico é a repetição do padrão na figura. Para que houvesse solução, dois daqueles "circulos" deveriam se interceptar na região azul mais escura (ali no meio, onde os dois retangulos infinitos se sobrepõe), mas isso não acontece.

[marcviana]

Mil desculpas... o Correto é [tex3]-\pi \leq x-y<0[/tex3]. Alguém sabe como corrigir o enunciado? A resposta é obviamente [tex3]x=0 \quad e \quad y=\pi[/tex3] (Esqueci de colocar anteriormente).

[undefinied3]

Nesse caso, muda a análise do segundo caso:
[tex3]x-y=\pi+2k\pi[/tex3], tomando k=-1, temos solução única [tex3]x-y=-\pi \rightarrow x=y-\pi[/tex3]
Substituindo por exemplo na primeira equação:
[tex3]sen(y-\pi)+cos(y)=-1 \rightarrow -sen(y)+cos(y)=-1 \rightarrow sen(y)-cos(y)=1 \rightarrow \sqrt{2}sen(y-45)=1 \rightarrow[/tex3]
[tex3]sen(y-45)=sen(45)[/tex3]
[tex3]y-45=45+2k\pi \rightarrow y=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex3] ou [tex3]y-45=\pi-45+2k\pi \rightarrow y=\pi+2k\pi[/tex3]
No primeiro caso, [tex3]x=2k\pi-\frac{\pi}{2}[/tex3], mas então teríamos [tex3]x+y=4k\pi[/tex3], ou seja, devemos ter k=0, e portanto [tex3]y=\frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]x=-\frac{\pi}{2}[/tex3]
No segundo caso, [tex3]x=2k\pi[/tex3], de modo que [tex3]x+y=\pi+4k\pi[/tex3], e portanto k=0 para satisfazer as condições, resultando em [tex3]x=0[/tex3] e [tex3]y=\pi[/tex3]

Então as soluções são [tex3](x,y)[/tex3]: [tex3](-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})[/tex3], [tex3](0, \pi)[/tex3], que no gráfico acima são aqueles dois pontos que os dos circulos de cima meio que pra direita se tocam. A nova desigualdade que você corrigiu engloba exatamenta aquela área.