Pré-Vestibular ⇒ (uepg2016) raízes imaginárias de polinômios

[blaze8876]

Se uma das raízes quadradas do número complexo z é [tex3]\sqrt{2}[/tex3]/2 +([tex3]\sqrt{6}[/tex3]/2)i e uma das raízes cúbicas do número complexo w é 1 + i, some as corretas:
01) (módulo) Iz.wI = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
02) o argumento de w é [tex3]\pi[/tex3]/4
04) [tex3]w^{20}[/tex3] é um número real
08) A forma trigonométrica de z é 2(cos 2 [tex3]\pi[/tex3]/3 + i sen 2 [tex3]\pi[/tex3]/3)
16) [tex3]z^{15}[/tex3] é um imaginário puro

[csmarceloMOD]

Chamemos as raízes quadrada de [tex3]z[/tex3] e cúbica de [tex3]w[/tex3] de, respectivamente, [tex3]z'[/tex3] e [tex3]w'[/tex3].

[tex3]\mid z'\mid=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\cos\arg{z'}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\\\sin\arg{z'}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\rightarrow\arg(z')=\frac{\pi}{3}[/tex3]

Daí,

[tex3]\mid z\mid={\mid z'\mid}^2=2[/tex3]
[tex3]\arg{z}=2\arg{z'}=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

------------------------------------------------------------

[tex3]\mid w'\mid=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\cos\arg{w'}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\arg{w'}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\rightarrow\arg(w')=\frac{\pi}{4}[/tex3]

Daí,

[tex3]\mid w\mid={\mid w'\mid}^3=2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\arg{w}=3\arg{w'}=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

------------------------------------------------------------

01) Verdadeiro

[tex3]\mid z\cdot w\mid=\mid z\mid\cdot\mid w\mid=2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}[/tex3]

02) Falso

[tex3]\arg{w}=3\arg{w'}=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

04) Verdadeiro

[tex3]\arg{(w^{20})}=20\cdot\frac{3\pi}{4}=15\pi\rightarrow\sin\arg{(w^{20})}=0\rightarrow b=0[/tex3]

08) Verdadeiro

[tex3]\mid z\mid=2[/tex3]
[tex3]\arg{z}=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

16) Falso

[tex3]\arg{(z^{15})}=15\cdot\frac{2\pi}{3}=10\pi\rightarrow\cos\arg{(z^{15})}=1\rightarrow a={\mid z\mid}^{15}[/tex3]