Ensino Médio ⇒ Geometria Analitica Tópico resolvido

[pklaskoski]

Encontrar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola da equação:

y = 4x - x²



Resposta: V(2,4) ; F(2, 15/2) ; 4y - 17 = 0 ; x - 2 =0

[petrasMOD]

@pklaskoski,
Para encontrar os elementos da parábola [tex3]y = 4x - x^2[/tex3], primeiro precisamos reescrever a equação na sua forma canônica.
Como o termo quadrático é x², a parábola tem eixo de simetria vertical.
A forma canônica para esse caso é:[tex3](x - h)^2 = 4p(y - k)[/tex3]
Onde (h, k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco (com sinal).
Completando o Quadrado:
[tex3]-y = x^2 - 4x\\
Somar (4) em~ ambos ~os~ lados:\\
-y + 4 = x^2 - 4x + 4 \implies -y + 4 = (x - 2)^2\\
\therefore (x - 2)^2 = -1(y - 4)[/tex3]
Comparando com [tex3](x - h)^2 = 4p(y - k)[/tex3]:
Vértice(V):$h = 2 e k = 4. Logo, V = (2, 4)
Parâmetro p:[tex3]4p = -1 \implies p = -\frac{1}{4} = -0,25[/tex3].(O sinal negativo indica que a parábola está voltada para baixo).
Foco (F):Como o eixo é vertical, somamos p à coordenada y do vértice:
[tex3]F = (h, k + p) = (2, 4 - 0,25) = \mathbf{(2, 3,75)}[/tex3] ou (2, [tex3]\frac{15}{4}[/tex3]).
Equação da Diretriz (d):A diretriz é uma reta horizontal oposta ao foco em relação ao vértice (y = k - p):y = 4 - (-0,25)[tex3] \implies \mathbf{y = 4,25}[/tex3] ou [tex3]y = \frac{17}{4}[/tex3].
Equação do Eixo de Simetria: É a reta vertical que passa pelo vértice e pelo foco:[tex3]\mathbf{x = 2}.[/tex3]