Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2014) Progressões

[blaze8876]

Uma PA e PG, crescentes, cada uma com 3 termos, têm a mesma razão. Sabe-se que a soma dos termos da PA, adicionada com a soma dos termos da PG é igual a 31. O primeiro termo da PG é igual a 1, e as razões são iguais ao primeiro termo da PA. Some as corretas:

01) o termo médio da PA é ímpar
02) a soma dos termos da PA é 18
04) o último termo da PG é 9
08) a soma dos termos da PG é 16
16) a razão vale 3

[FelpDS]

[tex3]\text{O enunciado está com um erro: o primeiro termo da P.G é 1, na verdade.}\\
\text{P.A: }a_1, a_2, a_3 \\
\text{P.G: }b_1, b_2, b_3 \\
\text{Razão da P.A: } r \\\\
\text{Razão da P.G: } q \\\\
S_{n_{PA}} = \frac{(a_1 + a_n) n}{2} = \frac{(a_1 + a_3) 3}{2} \\
S_{n_{PG}} = \frac{a_1 (q^n - 1)}{q - 1} = \frac{b_1 (q^3 - 1)}{q - 1} \\
S_{n_{PA}} + S_{n_{PG}} = 31 \\
b_1 = 1 \\
r = q = a_1 \\
a_3 = a_1 + 2r \\
\frac{(a_1 + a_3) 3}{2} + \frac{b_1 (q^3 - 1)}{q - 1} = 31\\
\frac{(r + r + 2r) 3}{2} + \frac{(r^3 - 1)}{r - 1} = 31\\
6r + \frac{(r^3 - 1)}{r - 1} = 31\\
\frac{6r^2 - 6r + r^3 - 1}{r - 1} = 31\\
6r^2 - 6r + r^3 - 1 = 31r - 31 \\
r^3 + 6r^2 - 37r + 30 = 0 \\

\text{r = -10 ou r = 1 ou r = 3}\\
\text{r = 3, pois as sequências devem ser crescentes. Com isso, você consegue analisar as assertivas.}[/tex3]