Ensino Superior ⇒ Completar Quadrados

[Calbf1]

Podem ajudar a empregar o método de completar os quadrados da equação [tex3]x^{2}+\frac{3}{2}x-2=0[/tex3]?

Existe alguma regra específica para este método que se aplique a qualquer situação?

Obrigado!

Carlos

[Andre13000]

Essa regra existe sim, e é mais conhecida como fórmula de Bhaskara.

Veja:

[tex3]ax^2+bx+c=0\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0[/tex3]

Mas perceba que [tex3](x+\frac{b}{2a})^2=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}[/tex3]

[tex3]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0\\
x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex3]

[rodBR]

Sem entrar em méritos da história da matemática, vou tentar contribuir um pouco. Ficou extenso, pois tentei não omitir passos.

Quando tive contato com a técnica de completar quadrados com meus professores, eles apresentaram ela mostrado que algumas equações podem ser escritas como quadrado perfeito, no entanto, muitas outras equações não podemos representar sobre a forma de um quadrado perfeito dos tipos:

[tex3](x+k)^{2}=0[/tex3]
[tex3](x-k)^{2}=0[/tex3]

E, quando não podemos escrever sobre a forma de um quadrado perfeito, é conveniente utilizar a técnica de completar quadrados.... Quanto a técnica, o colega Andre13000 já apresentou.

No caso da equação [tex3]x^{2}+\frac{3}{2}x-2=0[/tex3], perceba que não podemos escrever como um quadrado perfeito, mas podemos completar o quadrado, pois já temos [tex3]x^{2}[/tex3]:

A ideia para completar quadrado vai ser utilizar o primeiro quadrado e completar a fim que apareça algo da forma [tex3]x^2+2xk+k^2=(x+k)^{2}[/tex3]. Então temos:

[tex3]x^{2}+\frac{3}{2}x-2=0[/tex3]
[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}-2=0[/tex3]. Agora só falta [tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}[/tex3], para termos o quadrado perfeito [tex3](x+\frac{3}{4})^{2}[/tex3], faremos isso, mas para não alterar em nada a equação, iremos adicionar e subtrair [tex3]\frac{9}{16}[/tex3] na equação. Disso resulta:
[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3]\underbrace{x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\frac{9}{16}}_{\text{ quadrado perfeito } } \,-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}+2[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}+\frac{32}{16}[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{41}{16}[/tex3]
[tex3]x+\frac{3}{4}=\pm \sqrt{\frac{41}{16}}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{41}{16}}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{41}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{4}[/tex3]

Ou seja, uma raiz é [tex3]x'=\frac{-3+ \sqrt{41}}{4}[/tex3] e a outra é [tex3]x''=\frac{-3- \sqrt{41}}{4}[/tex3].


Abraços.

[ivanginato23]

Sem entrar em méritos da história da matemática, vou tentar contribuir um pouco. Ficou extenso, pois tentei não omitir passos.

Quando tive contato com a técnica de completar quadrados com meus professores, eles apresentaram ela mostrado que algumas equações podem ser escritas como quadrado perfeito, no entanto, muitas outras equações não podemos representar sobre a forma de um quadrado perfeito dos tipos:

[tex3](x+k)^{2}=0[/tex3]
[tex3](x-k)^{2}=0[/tex3]

E, quando não podemos escrever sobre a forma de um quadrado perfeito, é conveniente utilizar a técnica de completar quadrados.... Quanto a técnica, o colega Andre13000 já apresentou.

No caso da equação [tex3]x^{2}+\frac{3}{2}x-2=0[/tex3], perceba que não podemos escrever como um quadrado perfeito, mas podemos completar o quadrado, pois já temos [tex3]x^{2}[/tex3]:

A ideia para completar quadrado vai ser utilizar o primeiro quadrado e completar a fim que apareça algo da forma [tex3]x^2+2xk+k^2=(x+k)^{2}[/tex3]. Então temos:

[tex3]x^{2}+\frac{3}{2}x-2=0[/tex3]
[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}-2=0[/tex3]. Agora só falta [tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}[/tex3], para termos o quadrado perfeito [tex3](x+\frac{3}{4})^{2}[/tex3], faremos isso, mas para não alterar em nada a equação, iremos adicionar e subtrair [tex3]\frac{9}{16}[/tex3] na equação. Disso resulta:
[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3]\underbrace{x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\frac{9}{16}}_{\text{ quadrado perfeito } } \,-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}-\frac{9}{16}-2=0[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}+2[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}+\frac{32}{16}[/tex3]
[tex3](x+\frac{3}{4})^{2}=\frac{41}{16}[/tex3]
[tex3]x+\frac{3}{4}=\pm \sqrt{\frac{41}{16}}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{41}{16}}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{41}}{4}[/tex3]
[tex3]x=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{4}[/tex3]

Ou seja, uma raiz é [tex3]x'=\frac{-3+ \sqrt{41}}{4}[/tex3] e a outra é [tex3]x''=\frac{-3- \sqrt{41}}{4}[/tex3].


Abraços.

"[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}-2=0[/tex3]. Agora só falta..."
Amigo, por que [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] vira [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]?

[rodBR]

Acredito que sua dúvida seja prq [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] "virou" [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]. A resposta é para não alterar em nada a equação e para completar um quadrado. Veja:

[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}-2=0[/tex3]. Essa é a mesma equação [tex3]x^{2}+ x\cdot \frac{3}{2}-2=0[/tex3]. Pois:
[tex3]x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{2\cdot 2}-2=0[/tex3]. Cancelando o 2, temos:
[tex3]x^{2}+ x\cdot \frac{3}{2}-2=0[/tex3].

Somar e subtrair o mesmo número e representar um número de outra forma (ex.: -1 = 4 - 5) é fundamental para vc entender a técnica e para resolver problemas em matemática.

[ivanginato23]

Ah obrigado, não tinha me ligado que voce simplesmente "cortou"...