Olimpíadas ⇒ (Treinamento Olímpico Canadense) Teoria dos Números

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Sabendo que [tex3]a, b[/tex3] são números reais, que
[tex3]\sqrt{(a-b)^{2} + (b+4)^{2}} + \sqrt{(a-2)^{2} + (b+3)^{2}} = 10[/tex3]
Encontre o maior e o menor valor de
[tex3]P = \sqrt{(a-1)^{2} + (b+1)^{2}}.[/tex3]

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a mudança de coordenadas:
[tex3]b'=b+1[/tex3]
[tex3]a'=a-1[/tex3]
parece conveniente sendo [tex3]z = a'+ib'[/tex3] queremos achar os maiores e menores módulos de z tais que:
[tex3]|z-1+2i| + |z - b'+2+3i| = 10[/tex3]

da desigualdade triangular: [tex3]|a| + |b| \geq |a+b|[/tex3]
e do fato de [tex3]|z-1+2i| = |-z+1-2i|[/tex3]
temos que [tex3]10 \geq |-b'+(1-2i)+2+3i| = |i+3-b'|[/tex3]

o que restringe [tex3]b'[/tex3] pois [tex3]100 \geq 1 + (3-b')^2 \rightarrow -\sqrt{99} \leq b'-3\leq \sqrt{99}[/tex3]
para restringir [tex3]a'[/tex3] eu preciso de mais tempo.
[tex3]|2|z|- |b'-1-5i| |\leq |2z-b'+1+5i| \leq 10[/tex3]
consequência da desigualdade triangular reversa https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_ ... inequality
logo [tex3]-10 \leq2|z|-|b'-1-5i| \leq 10[/tex3]
como [tex3]0 \leq (b'-1)^2\leq (2+\sqrt{99})^2[/tex3]
temos um intervalo para [tex3]|z|[/tex3]

[undefinied3]

Esse [tex3](a-b)^2[/tex3] é realmente isso? Mandei essa questão no grupo de emails que participo com alguns professores do Brasil e eles falaram que vão tentar, mas logo de cara questionaram justamente a presença desse termo que torna a questão totalmente diferente de todas as outras do mesmo estilo que já viram (deixando claro que desses professores, muitos dão treinamento para as olimpíadas nacionais e internacionais). Gostaria apenas de confirmar antes de investir mais tempo na questão. Por outro lado, se for apenas outro [tex3](a-n)^2[/tex3] com n sendo um número, a questão seria de certa forma trivial, então talvez seja isso mesmo.