Ensino Superior ⇒ Máximo e mínimo absoluto de função de duas variáveis

[FilipeDLQ]

Olá pessoal alguém poderia me ajudar com a seguinte questão?

Encontre o máximo e mínimo absoluto de [tex3]f(x,y)=x^3+y^3-3xy[/tex3], na região triangular dos vértices [tex3](0,0), (0,9) , (1,0)[/tex3]

[Elec1996]

Oi felipe,
Para encontrarmos um máximo ou um minimo local de uma função devemos primeiro saber o gradiente [tex3]\nabla{f(x,y)}[/tex3] que é expresso por [tex3]\nabla{f(x,y)}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})[/tex3].
Então primeiro derivamos f em x,ou seja,[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y[/tex3].
Depois calculamos f em y,ou seja,[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x[/tex3].
Agora que nós temos o gradiente [tex3]\nabla{f(x,y)}=(3x^{2}-3y,3y^{2}-3x)[/tex3] ,vamos iguala-lo a (0,0):
[tex3](0,0)=(3x^{2}-3y,3y^{2}-3x)[/tex3] ,logo, [tex3]3x^{2}-3y=0[/tex3] e [tex3]3y^{2}-3x=0[/tex3] também.
Daí temos que [tex3]3x^{2}=3y[/tex3] e [tex3]3y^{2}=3x[/tex3], logo temos tambem que [tex3]x^{2}=y[/tex3] e [tex3]y^{2}=x[/tex3].
Substituindo o segundo no primeiro,temos que:
[tex3]y^{4}=y[/tex3],[tex3]y^{4}-y=0[/tex3] e [tex3](y^{3}-1)y=0[/tex3], logo y=0 e y=1 também.
Como [tex3]y^{2}=x[/tex3], obtemos os pares criticos (0,0) e (1,1).
Para sabermos se são pontos de máximo,mínimo ou ponto de sela devemos fazer o teste da derivada segunda.
O teste da derivada segunda consiste em calcular um D, que é:
[tex3]D=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})[/tex3],onde caso:
1)D>0 e [tex3]f_{xx}(x_{0},y_{0})>0[/tex3],então f tem um minimo relativo em [tex3](x_{0},y_{0})[/tex3];
2)D>0 e [tex3]f_{xx}(x_{0},y_{0})<0[/tex3],então f tem um máximo relativo em [tex3](x_{0},y_{0})[/tex3];
3)D<0 ,então f tem um çponto de sela em [tex3](x_{0},y_{0})[/tex3];
4)se D=0,não se conclui nada

[FilipeDLQ]

A questão pede o máximo e mínimo absoluto e não relativos