Ensino Médio ⇒ Logaritmos: Mudança de Base

[daniloesteves1]

Calcular [tex3]a=\log_35\cdot \log_427 \cdot \log_{25}\sqrt{2}.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]\frac{3}{8}[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

• [tex3]\log_427=\log_{2^2} (3^3)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \log_2 3=\frac{3}{2}\cdot \log_23[/tex3]
  
  [tex3]\log_{25}\sqrt{2}=\log_{5^2} (2^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_5 2=\frac{1}{4}\cdot \log_5 2[/tex3]
  
  [tex3]a=\log_35\cdot \log_427 \cdot \log_{25}\sqrt{2}= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \underbrace{\log_35\cdot \log_23\cdot \log_5 2}_1=\frac{3}{8}.[/tex3]

[tex3](*)\text{ }\log_ab\cdot \log_bc\cdot \log_ca=1[/tex3]

Prova: Mudando para a base [tex3]d[/tex3] (a prova independe da base escolhida) temos

• [tex3]\log_ab\cdot \log_bc\cdot \log_ca=\frac{\log_d b}{\log_d a}\cdot\frac{\log_d c}{\log_d b}\cdot \frac{\log_d a}{\log_d c} =1[/tex3]