Pré-Vestibular ⇒ FuvestSP - Combinação - Formação de Grupos e Restrições Tópico resolvido

[ismaelmat]

92.348-(FUVEST-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem,com exceção de Andréa, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de 5 alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?

a)71

b)75

c)80

d)83

e)87

Achei essa meio confuso eu primeiro fiz a combinação de todos e depois retirei a Andréa e fiz a combinação de tudo sem a Andréa e subtrai elas e somei com a possibilidade da Andréa sem os outros dois, será que a minha linha de raciocínio estava certa ou foi só coincidência?

Gabarito:

Resposta

---

A

[IvanFilho]

Olá!
O total será C9,5=126
agora temos que tirar as comissões em que Andréa e Manoel fazem parte C7,3=35 e Andréa e Alberto fazem parte C7,3=35
Agora as comissões que eles estão juntos C6,3=15
126-70+15

[ismaelmat]

C6,3 não é vinte não?

[joaopcarvMOD]

Você também pode pensar o seguinte :

Comissões com Andreia inclusa [tex3]\rightarrow[/tex3]

De 5 vagas, ocupamos uma com Andreia. Sobraram 4 vagas.
Dos 9 alunos, Andreia já foi e Manoel e Alberto não podem participar. Então sobram (9 - 3) = 6 alunos para serem combinados nas 4 vagas restantes :

C(6,4) = 6! / ((6 - 4)! * 4!)

C(6,4) = 6! / (2! * 4!)

C(6,4) = 6 * 5 / 2

C(6,4) = 15 possibilidades de combinação com Andreia inclusa !

Comissões sem Andreia [tex3]\rightarrow[/tex3]

Se tirarmos a Andreia, podemos combinar os alunos livremente nas 5 vagas. Logo, de 9 alunos, (9 - 1) = 8 alunos serão combinados em 5 vagas

C(8,5) = 8! / ((8 - 5)! * 5!)

C(8,5) = 8! / (3! * 5!)

C(8,5) = 8 * 7 * 6 / 6

C(8,5) = 56 possibilidades de combinação sem Andreia !
...
Logo, o número total de combinações é :

C(6,4) + C(8,5) =

15 + 56 =

71 combinações possíveis para formar essa comissão !