Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Função Quadrática: Valor Mínimo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

(UnB) Se [tex3]a_1, a_2, ..., a_n[/tex3] são números reais, então a função [tex3]f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2 + ... + (x-a_n)^2[/tex3] atinge o valor mínimo quando [tex3]x=a_1+a_2+...+a_n/n?[/tex3]

[triplebig]

[tex3]f(x)[/tex3] pode ser reescrito assim:


[tex3]\hspace{50pt}nx^2\,-\,2x(a_1\,+\,a_2\,+\,a_3\,+\,...\,+\,a_n)\,+\,(a_1^2\,+\,a_2^2\,+\,a_3^2\,+\,...\,+\,a_n^2)[/tex3]


Note que é uma função quadrática em [tex3]x[/tex3] , e atinge o valor mínimo quando [tex3]x\,=\, \frac{-b}{2a}[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}x_{\text{min}}\,=\, \frac{2(a_1\,+\,a_2\,+\,a_3\,+\,...\,+\,a_n)}{2n}\,=\,\frac{a_1\,+\,a_2\,+\,a_3\,+\,...\,+\,a_n}{n}[/tex3]