Física I ⇒ (UFPB) Velocidade orbital de um satélite Tópico resolvido

[Liliana]

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Nesta prova, quando necessário, adote os seguintes valores:
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s²
Constante da gravitação universal:
G = 6 · 10^−11 N m²/kg²
Velocidade do som no ar: v = 340 m/s
Massa da Terra: M = 6 · 10^24 kg
Constante pi = 3

Os satélites artificiais são uma conquista da tecnologia moderna e os seus propósitos são variados. Existem satélites com fins militares, de comunicação, de monitoramento etc. e todo satélite tem uma órbita e uma velocidade orbital bem determinadas. Nesse contexto, considere um satélite de comunicação que descreve uma órbita circular em torno da Terra com um período de revolução de 8 · 10^4 s. Com base nessas informações e desprezando o movimento da Terra, é correto afirmar que esse satélite gira em torno da Terra com uma velocidade orbital de:
a) 1000 m/s.
b) 1500 m/s.
c) 2000 m/s.
d) 3000 m/s.
e) 3500 m/s.

[rippertoru]

Olá.

A força gravitacional é dada por

[tex3]F = G\frac{M\times m}{R^{2}}[/tex3]

Sendo [tex3]F = m.a[/tex3], têm-se

[tex3]m.a = G\frac{M\times m}{R^{2}}[/tex3]

[tex3]a = G\frac{M}{R^{2}}[/tex3]

A aceleração neste caso, corresponde a aceleração centrípeta.

[tex3]a = a_{cp}[/tex3]

[tex3]a_{cp} = G\frac{M}{R^{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{v^{2}}{R} = G\frac{M}{R^{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{(\omega R)^{2}}{R} = G\frac{M}{R^{2}}[/tex3]

[tex3]\omega^{2}R = G\frac{M}{R^{2}}[/tex3]

[tex3]\omega^{2}R^{3} = GM[/tex3]

[tex3]R^{3} = \frac{GM}{\omega^{2}}[/tex3]

[tex3]R = \sqrt[3]{\frac{GM}{\omega^{2}}}[/tex3]

Substituindo pelos valores dados

[tex3]R= \sqrt[3]{\frac{6\times 10^{-11}\times 6\times 10^{24}}{\left(\frac{2\pi}{8\times 10^{4}}\right)^{2}}}[/tex3]

[tex3]R= \sqrt[3]{\frac{36\times 10^{13}}{\frac{36}{64\times 10^{8}}}} = 4\times 10^{7}\ m[/tex3]

Assim a velocidade será

[tex3]v = \omega R[/tex3]

[tex3]v = \frac{2\pi}{T}R[/tex3]

[tex3]v = \frac{24\times 10^{7}}{8\times 10^{4}} = 3 \times 10^{3} = 3000\ m/s [/tex3]

Espero ter ajudado!

[Liliana]

Ajudou sim, muito obrigada!!