Ensino Médio ⇒ Equação exponencial com bases diferentes Tópico resolvido

[Rory]

Olá! Como eu resolvo a seguinte situação:
Qual é a solução real da equação [tex3]4^{x-4} - \frac{3^{x}}{81}[/tex3] = 0?

Resposta: 4

vlw!

[rippertoru]

[tex3]4^{x-4} - \frac{3^{x}}{81} = 0[/tex3]

[tex3](81)4^{x-4} - 3^{x} = 0[/tex3]

[tex3](81)4^{x-4} = 3^{x}[/tex3]

Aplicando o log natural em ambos os lados

[tex3]\ln \left ( (81)4^{x-4} \right) =\ln \left (3^{x}\right)[/tex3]

[tex3]\ln (81) + \ln\left (4^{x-4} \right) =\ln \left (3^{x}\right)[/tex3]

[tex3]\ln (81) + (x-4) \ln\left (4 \right) =x\ln \left (3\right)[/tex3]

[tex3]4\ln (3) + 2(x-4) \ln\left (2 \right) =x\ln \left (3\right)[/tex3]

[tex3]4\ln (3) + 2x \ln\left (2 \right) - 8\ln\left (2 \right) =x\ln \left (3\right)[/tex3]

[tex3]2x \ln\left (2 \right)=x\ln \left (3\right) - 4\ln (3) + 8\ln\left (2 \right) [/tex3]

[tex3]2x \ln\left (2 \right)=x\ln \left (3\right) - \ln (3^{4}) + \ln\left (2^{8} \right) [/tex3]

[tex3]2x \ln\left (2 \right)=x\ln \left (3\right) + \ln\left (\frac{2^{8}}{3^{4}} \right) [/tex3]

[tex3]2x \ln\left (2 \right)=x\ln \left (3\right) + \ln\left (\frac{256}{81} \right) [/tex3]

[tex3]2x \ln\left (2 \right) - x\ln \left (3\right) = \ln\left (\frac{256}{81} \right) [/tex3]

[tex3]x (2\ln\left (2 \right) - \ln \left (3\right)) = \ln\left (\frac{256}{81} \right) [/tex3]

[tex3]x (\ln\left (4 \right) - \ln \left (3\right)) = \ln\left (\frac{256}{81} \right) [/tex3]

[tex3]x \ln\left (\frac{4}{3} \right) = \ln\left (\frac{256}{81} \right) [/tex3]

[tex3]x = \frac{\ln\left( \frac{256}{81}\right)}{\ln \left(\frac{4}{3}\right)} = 4[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Respeitando a ótima solução dada por rippertoru. Vou tentar uma outra forma resolutiva.

[tex3]4^{x-4} - \frac{3^{x}}{81} = 0[/tex3]

Trabalhando as potências, fica:

[tex3]4^x*4^{-4} - \frac{3^{x}}{81} = 0[/tex3]

[tex3]81*4^x*4^{-4} - 3^{x} = 81*0[/tex3]

Divida tudo por [tex3]4^{x}[/tex3]

[tex3]81*\frac{4^x}{4^x}*4^{-4} - \frac{3^{x}}{4^x} = 81*0[/tex3]

[tex3]81*1*4^{-4} -( \frac{3}{4})^x = 81*0[/tex3]

fazendo a como variável auxiliar: [tex3](\frac{3}{4})^x=a[/tex3]

[tex3]81*4^{-4} -a = 0[/tex3]

[tex3]- a = -81*4^{-4}\\
-a=-\frac{81}{4^4}\\
a= \frac{3^4}{4^4}\\
a=(\frac{3}{4})^4[/tex3]

Voltando na variável auxiliar a, temos:

[tex3](\frac{3}{4})^x=a[/tex3]

[tex3](\frac{3}{4})^x=(\frac{3}{4})^4[/tex3]

Cortando as bases iguais, fica:

[tex3]x=4[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Outra forma, seria:

[tex3]4^{x-4} - \frac{3^{x}}{81} = 0[/tex3]
[tex3]4^x*4^{-4} - \frac{3^{x}}{3^4} = 0\\
4^x*4^{-4}-3^x*3^{-4}=0[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]3^x[/tex3]
[tex3]\frac{4^x}{3^x}*4^{-4}-\frac{3^x}{3^x}*3^{-4}=0\\

(\frac{4}{3})^x*4^{-4}=3^{-4}\\
(\frac{4}{3})^x= \frac{3^{-4}}{4^{-4}}\\
(\frac{4}{3})^x=[/tex3](\frac{3}{4})^{-4}[/tex3]
Podemos escrever:
[tex3](\frac{4}{3})^x=(\frac{3}{4})^{-x}[/tex3]
Substituido, fica:
[tex3](\frac{4}{3})^x=(\frac{3}{4})^{-4}\\
(\frac{3}{4})^{-x}=(\frac{3}{4})^{-4}[/tex3]
cortando as bases iguais, fica:
[tex3]-x = -4(*-1)\\
x=4[/tex3]