Ensino Superior ⇒ Calcule a derivada da função Tópico resolvido

[lyndo]

por favor preciso de ajuda

calcule a derivada da função [tex3]f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá lyndo,

Veja que esta questão é uma aplicação direta da regra do quociente:

[tex3]\left({\frac {a}{b}}\right)'={\frac {ba'-ab'}{b^{2}}}[/tex3]

No caso da sua questão, temos:

[tex3]f(x)=\frac{a}{b}=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}[/tex3]. Ou seja, [tex3]\boxed{a=x^2-1}[/tex3] e [tex3]\boxed{b=x^3}[/tex3].

Para aplicar na regra do quociente, vamos derivar [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3]:

[tex3]a=x^2-1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{a'=2x}[/tex3]

[tex3]b=x^3\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{b'=3x^2}[/tex3]

Aplicando estes valores na regra do quociente:

[tex3]f'(x)=\left({\frac {a}{b}}\right)'=\frac {ba'-ab'}{b^{2}}=\frac {(x^3)(2x)-(x^2-1)(3x^2)}{(x^3)^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac {2x^4-3x^4+3x^2}{x^6}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac {-x^4+3x^2}{x^6}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\frac {x^2(3-x^2)}{x^6}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{f'(x)=\frac {3-x^2}{x^4}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[lyndo]

Obrigado por me ajudar mais nenhuma das resposta esta compativel com a qui eu tenho qui marca na minha atividade

[cajuADMIN]

Olá lyndo,

Sempre que você tiver a resposta, poste-a juntamente com sua questão!

Assim, se o seu gabarito estiver errado, a pessoa que responder poderá apresentar uma análise sobre o gabarito estar errado, ou se o enunciado está errado. Ou, até mesmo, se a resolução da pessoa estiver errada! Daí ela confere o gabarito e arruma a resolução. Ou seja, você só tem a ganhar disponibilizando o gabarito.

Nessa questão em específico, a derivada da função é exatamente a que eu apresentei (fiz a conferência com outras ferramentas).

Qual o gabarito apresentado?

Grande abraço,
Prof. Caju

[lyndo]

f(x)=[tex3]\frac{x^{2}-1}{x^{3}}[/tex3]


Alternativa correta:
F(x)= [tex3]\frac{-x^{2}+3x^{2}}{x^{6}}[/tex3]

F(x)= [tex3]\frac{-2x^{3}+3x}{5}[/tex3]

F(x)= [tex3]\frac{2x^{3}+x}{x^{7}}[/tex3]

F(x)= [tex3]\frac{-x^{2}+3x^{2}}{x^{3}}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá lyndo,

Veja que, aparentemente, há um erro na primeira alternativa apresentada.

Na alternativa está escrito [tex3]F(x)=\frac{-x^{2}+3x^{2}}{x^{6}}[/tex3], e a resposta correta teria que ser [tex3]F(x)=\frac{-x^{4}+3x^{2}}{x^{6}}[/tex3].

Podemos concluir que a primeira alternativa está errada pois não há motivo para apresentar um denominador [tex3]-x^{2}+3x^{2}[/tex3], pois poderíamos somar estas duas parcelas e apresentar [tex3]2x^{2}[/tex3].

Ou seja, há, realmente, um erro nas alternativas apresentadas.

Grande abraço,
Prof. Caju

[paulo testoniMOD]

Hola.

Respeitando a colocação do amigo Caju, coloca também a minha solução:

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x)}{(g(x))^2}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{(2x)*(x^3)-(x^2-1)*(3x^2)}{(x^3)^2}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{(2x^4)-(3x^4-3x^2)}{(x^6)}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{(2x^4 - 3x^4+3x^2)}{(x^6)}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{(- x^4 +3 x^2)}{(x^6)}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{x^2*(- x^2+ 3)}{(x^6)}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{- x^2+ 3}{x^4}[/tex3]

[tex3](\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{3 - x^2}{x^4}[/tex3]

De acordo com a resposta do amigo Caju.