Olimpíadas ⇒ (Torneio das cidades) Triângulo Tópico resolvido

[Gu178]

No triângulo ABC, a bissetriz do ângulo B corta AC em D e a bissetriz de C corta AB em E. Essas bissetrizes se intersectam em O e OD=OE. Prove que BÂC=60° e que o triângulo ABC é isósceles.

[cajuADMIN]

Olá Gu178,

Veja a imagem do problema:

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É pedido o ângulo [tex3]\alpha[/tex3].

Como [tex3]O[/tex3] é a interseção de duas bissetrizes, ao ligarmos [tex3]AO[/tex3] teremos também uma bissetriz.

É dado no enunciado que [tex3]EO = OD[/tex3]. Portanto, nos triângulos [tex3]AEO[/tex3] e [tex3]ADO[/tex3] temos dois lados iguais ([tex3]EO = OD[/tex3] e [tex3]AO[/tex3] comum) e um ângulo igual entre eles [tex3](\alpha/2)[/tex3]. Ou seja, podemos concluir que os triângulos são idênticos por LLA. Assim, temos que [tex3]AE = AD[/tex3].

Screen Shot 2017-08-21 at 01.34.26.png (24.47 KiB) Exibido 2424 vezes

Com isso, temos que o ângulo [tex3]BEO = ODC =\frac{\alpha}{2}+k[/tex3].

Como os ângulos [tex3]BOE[/tex3] e [tex3]COD[/tex3] são opostos pelo vértice, eles são iguais. Assim, chegamos à conclusão que [tex3]\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}[/tex3], pois os triângulos [tex3]BOE[/tex3] e [tex3]COD[/tex3] possuem dois ângulos internos iguais, então o terceiro também será.

Ou seja, o triângulo é isósceles.

Agora, provar que [tex3]BAC=60^\circ[/tex3] acho que não dá não. Pois, com essas informações do enunciado, qualquer triângulo isósceles vale, não precisa ser necessariamente [tex3]BAC=60^\circ[/tex3].

Não está faltando dados no enunciado?

Grande abraço,
Prof. Caju

[Gu178]

Muito obrigado mestre Caju. O Enunciado está assim mesmo.

[undefinied3]

Caju, esse caso de congruencia está certo? Só conheço LAL, ALA, LLL e LAAo, mas LLA me parece estranho, porque o angulo em questao nao é o delimitado pelos dois lados iguais mas sim um angulo oposto.

[cajuADMIN]

Olá undefinied3, você tem razão.

LLA não gera congruência pois tem duas possibilidades. Falei besteira.

Tem que arrumar minha resolução nesse ponto. Você já matou alguma coisa? Uma hora que tiver mais tempo eu posso tentar pensar novamente nessa questão.

Grande abraço,
Prof. Caju

[cajuADMIN]

Vou tentar novamente, a partir de um desenho que não seja um triângulo nem isósceles nem equilátero, para dar mais generalidade.

Screen Shot 2017-08-21 at 16.10.32.png (24.89 KiB) Exibido 2400 vezes

Como [tex3]O[/tex3] é o encontro das bissetrizes, então é o centro do círculo inscrito de raio [tex3]R[/tex3]. Assim, podemos concluir que [tex3]OH = OG = R[/tex3].

Assim, os triângulos [tex3]AOG[/tex3] e [tex3]AOH[/tex3] são retângulos e possuem a hipotenusa em comum e um dos ângulos agudos iguais. Portanto, podemos concluir que esses dois triângulos são idênticos.

Olhando para [tex3]OGE[/tex3] e [tex3]OHD[/tex3], temos, também, dois triângulos retângulos com hipotenusas iguais ([tex3]OD=OE[/tex3]) e um dos catetos iguais também ([tex3]OH=OG=R[/tex3]). Portanto, também podemos concluir que os triângulos são idênticos. Assim, temos que os ângulos [tex3]BEO[/tex3] e [tex3]CDO[/tex3] são iguais.

Agora podemos fazer o raciocínio de antes. Como os ângulos [tex3]BOE[/tex3] e [tex3]DOC[/tex3] são opostos pelo vértice, podemos concluir que eles são iguais. O que nos leva aos triângulos [tex3]BEO[/tex3] e [tex3]CDO[/tex3] possuírem dois ângulos iguais, então podemos concluir que o terceiro ângulo é igual também [tex3]\(\frac{\beta}{2}=\frac{\theta}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\beta=\theta}\)[/tex3], como queríamos demonstrar!

Grande abraço,
Prof. Caju

[undefinied3]

Fiz exatamente a mesma resolução, caju, mas estava em aula e não tinha como mandar. Parece que provar o 60 graus realmente não é possível só com esses dados.

[Gu178]

Obrigado mestre Caju. Foi muito esclarecedor.