Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1983) Geometria Analítica: Lugar Geométrico Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um móvel descreve uma curva plana, tal que a soma das distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos, [tex3]P = (0, 1)[/tex3] e [tex3]Q = (0, -1),[/tex3] situados no plano da curva, é constante e igual a [tex3]4.[/tex3] A equação desta curva descrita é:

a) [tex3]3x^2+4y^2=12.[/tex3]
b) [tex3]4x^2+3y^2=12.[/tex3]
c) [tex3]3x^2+2y^2=12.[/tex3]
d) [tex3]4x^2+y^2=12.[/tex3]
e)[tex3]x^2+3y^2=0.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

O lugar geométrico descrito no enunciado é exatamente a definicão de Elipse:

A elipse é o conjunto dos pontos [tex3]P[/tex3] do plano tais que a soma das distâncias de [tex3]P[/tex3] a dois pontos fixos [tex3]F_1[/tex3] e [tex3]F_2[/tex3] (focos) é constante.

Ou seja, os pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são os focos da elipse.

Como a abscissa de [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são iguais, podemos concluir que a Elipse encontra-se na posição vertical (com eixo maior paralelo ao eixo [tex3]Y[/tex3]).
O centro da elipse é o ponto exatamente no meio dos focos, ou seja [tex3]C(0,0)[/tex3]

A distância entre os focos é o valor de [tex3]2c[/tex3].

[tex3]2c=2[/tex3]

[tex3]c=1[/tex3]

A soma das distâncias de um ponto aos focos é o valor de [tex3]2a[/tex3]:

[tex3]2a=4[/tex3]

[tex3]a=2[/tex3]

Pela equação [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3] temos que [tex3]b^2=3[/tex3]

Agora, utilizando a equação genérica de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo [tex3]Y[/tex3], que é:

[tex3]\frac{(x-x_c)^2}{b^2}+\frac{(y-y_c)^2}{a^2}=1[/tex3]

Substituindo os valores:

[tex3]\frac{(x-0)^2}{3}+\frac{(y-0)^2}{4}=1[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]

[ALDRINMOD]

Muito obrigado Professor.