Pré-Vestibular ⇒ (UFG-2013/2) Soma dos termos ao quadrado de uma PA Tópico resolvido

[ludwing]

A soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, com primeiro termo a e razão r, pode ser calculada por:
[tex3]S_{n} = an(a +nr -r) + \frac{nr^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3]

De acordo com o exposto, uma expressão para a soma, [tex3]1 + 4+9+...+n^{2}[/tex3], dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos, é:

A)[tex3]\frac{(n^{2}-1)(2n+1)}{6}[/tex3]
B)[tex3]\frac{(n+1)(n+2)(2n+1)}{6}[/tex3]
C)[tex3]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex3]
D)[tex3]\frac{(n+1)^{2}(2n+1)}{6}[/tex3]
E)[tex3]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex3]

Consegui encontrar a demonstração da resposta no próprio fórum, porém, sem passar pela equação do enunciado. Quem souber desenvolver agradeço!

[Hanon]

ludwing, vc poderia checar se realmente a fórmula é essa [tex3]S_{n} = an(a +nr -r) + \frac{nr^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3]. Não tô chegando em nenhuma resposta.

O resultado que obtive foi: [tex3]\frac{n(2n^{4}+7n^3-3n^2-n+1)}{6}[/tex3]

[ludwing]

É essa sim, conferi na prova. Além disso, consegui chegar na resposta. logo posto ela aqui

[ludwing]

vamos lá,
Seja [tex3]S_{n} = an(a +nr -r) + \frac{nr^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3], [tex3]S_{n}[/tex3] é a soma dos quadrados.

Ex: a P.A. (1,2,3), seguindo de acordo com o enunciado, temos [tex3]a=1[/tex3], [tex3]n=3[/tex3], [tex3]r=1[/tex3]

Substituindo esses valores na formula [tex3]s_{n}[/tex3], temos:

[tex3]S_{3} = 1.3(1 +3.1 -1) + \frac{3.1^{2}}{6}(2.3^{2}-3.3+1)[/tex3]

[tex3]3.(3) + \frac{3}{6} .(2.9-9+1) = 14[/tex3]

Agora, fazendo [tex3]s_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}[/tex3], ou seja, [tex3]s_{n}[/tex3] como a soma dos quadrados, para essa P.A. teremos:
[tex3]s_{3} = 1^{2}+2^{2}+3^{2}=14[/tex3]

Veja que na formula do enunciado inserimos a P.A. [tex3](1,2,3) [/tex3] com [tex3]a=1[/tex3], [tex3]n=3[/tex3] e [tex3]r=1[/tex3] para encontrar a soma dos quadrados desses termos.
Já nessa segunda equação, somamos os quadrados dessa P.A de 3 termos diretamente. O resultado dá o mesmo!

Agora vamos ao exercício, numa P.A. qualquer, temos [tex3](a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})[/tex3], já na questão temos [tex3](1,2,3,...,n)[/tex3] (que no caso são os n primeiros inteiros positivos), com [tex3]a=1[/tex3],[tex3]n=n[/tex3] e [tex3]r=1[/tex3] ([tex3]a[/tex3] e [tex3]n[/tex3] e [tex3]r[/tex3] se referem ao enunciado).
Os quadrados desses termos (primeiros inteiros positivos) são: [tex3](1^{2},2^{2},...,n^{2})[/tex3].
Agora vem o interessante:
[tex3]a_{1}=(1)^{2} [/tex3]
[tex3]a_{2}= (a_{1}+(2-1).r)^{2}[/tex3]
[tex3]a_{3}=(a_{1}+(3-1).r)^{2}[/tex3]
Veja que se substituirmos os termos [tex3]a_{1}=1[/tex3] e [tex3]r=1[/tex3], encontraremos [tex3]a_{1}=1[/tex3], [tex3]a_{2}=4[/tex3], [tex3]a_{3}=
9[/tex3] e assim por diante. Então a razão não muda, a formula funciona perfeitamente, porém, tudo isso elevado ao quadrado. Por isso quando se tenta encontrar a razão de [tex3](1,4,9,16,...,n^{2})[/tex3] nunca achamos o mesmo valor, isso porque essa sequência não é uma P.A e nem uma P.G. (me corrijam se eu estiver errado), alias, no próprio fórum tem a explanação dessa sequência.

Resumindo,
Para soma dos quadrados, temos 2 formulas:
[tex3]s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}[/tex3], nessa primeira, teremos que substituir os termos pelos quadrados de [tex3](1,2,3,...,n)[/tex3], ou seja, [tex3]((1)^{2}, (2)^{2},(3)^{2},...,(n)^{2})[/tex3].

Já na formula do enunciado, como bem está escrito, precisamos inserir os termos sem estarem elevados ao quadrado, para assim encontrarmos a soma desses termos elevados ao quadrado, ou seja: [tex3](1,2,3,...,n)[/tex3]. Como disse no inicio, fazendo assim encontraremos os mesmo valores.

Agora, substituindo nessa segunda equação ([tex3]S_{n} = an(a +nr -r) + \frac{nr^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3]) os termos [tex3]a=1[/tex3],[tex3]n=n[/tex3] e [tex3]r=1[/tex3] (provenientes da P.A. dos n primeiros inteiros positivos [tex3](1,2,3,...,n)[/tex3]), teremos:

[tex3]S_{n} = 1n(1 +n.1 -1) + \frac{n1^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3]
[tex3]S_{n} = n(n) + \frac{n}{6}(2n^{2}-3n+1[/tex3]
[tex3]S_{n} = n^{2} + \frac{2n^{3}-3n^{2}+n}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{6n^{2}+2n^{3}-3n^{2}+n}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}[/tex3]
Fatorando:
[tex3]\frac{n(2n^{2}+3n+1)}{6}[/tex3]
Fatorando essa expressão do segundo grau utilizando [tex3]a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex3], encontraremos [tex3](2n+1)(n+1)[/tex3]

Só substituir agora, ai fica assim: [tex3]\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}[/tex3]
Resposta letra E).

[Hanon]

Sim claro, mas pensei que aqui [tex3]S_{n} = an(a +nr -r) + \frac{nr^{2}}{6}(2n^{2}-3n+1)[/tex3] esse an seria o enésimo termo e não [tex3]a\cdot n[/tex3]. Por isso deu aquele resultado que tinha enviado ontem. Pois é obvio que o enésimo termo é [tex3]n^{2}[/tex3] aí substituindo na fórmula vai resultar em [tex3]S_{n}=\frac{n\cdot (2n^4+7n^3-3n^2-n+1)}{6}[/tex3]

[ludwing]

te falar que tive o mesmo problema hahaha

[Andre13000]

Pode derivar a fórmula deste jeito também:

[tex3](n+1)^3-1=\sum_{k=1}^n (k+1)^3-k^3\\
(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^n \sum_{m=0}^3 {3\choose m}k^m-k^3\\
(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^n \sum_{m=0}^2 {3\choose m}k^m\\
(n+1)^3-1=\sum_{m=0}^2 {3\choose m}\sum_{k=1}^n {k^m}\\
(n+1)^3-1=\sum_{m=0}^2 {3 \choose m}(1+2^m+3^m+\dots+n^m)\\
(n+1)^3-1=n+\frac{3n(n+1)}{2}+3\sum_{k=1}^n k^2\\
\sum_{k=1}^n k^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}[/tex3]

Obs: com aquela fórmula você pode tomar [tex3]a_0=0,r=1,n\to n+1[/tex3]