Ensino Médio ⇒ Função com Raiz (intervalo de definição)

[LFALCAO]

Alguém pode responder para mim?

(GV-SP) A função [tex3]y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}+ \sqrt{\frac{2-x}{x+1}}[/tex3] é definida no intervalo:

a) [tex3]]-2,\,-1[[/tex3]
b) [tex3]]-\infty,\,+\infty[[/tex3]
c) [tex3]]0,\,+\infty[[/tex3]
d) [tex3]]-1,\,2][/tex3]
e) [tex3]x=1[/tex3]

[csmarceloMOD]

Vamos analisar a primeira raiz.

Para que a expressão esteja definida nos números reais, devemos ter [tex3]x+2\neq0\ (1)[/tex3] (pois não existe divisão por zero) e [tex3]\frac{2-x}{x+2}\geq0\ (2)[/tex3] (pois não existe raiz par de números negativos)

[tex3](1)\ x+2\neq0\rightarrow x>-2[/tex3]

[tex3](2)[/tex3] Para que a expressão não seja negativa, tanto o numerador quanto o denominador devem possuir o mesmo sinal.

[tex3]\frac{2-x\ (I)}{x+2\ (II)}\geq0\rightarrow\begin{cases}\begin{cases}\text{ambas com sinal negativo}\\(I)\ 2-x\leq0\rightarrow x\geq2\\(II)\ x+2<0\rightarrow x<-2\end{cases}\rightarrow\nexists x\in\mathbb{R}\\\begin{cases}\text{ambas com sinal positivo}\\(I)\ 2-x\geq0\rightarrow x\leq2\\(II)\ x+2>0\rightarrow x>-2\end{cases}\rightarrow x\in]-2,2]\end{cases}[/tex3]

Fazendo o mesmo procedimento para a segunda raiz:

[tex3]\frac{2-x}{x+1}\rightarrow x\in]-1,2][/tex3]

Fazendo a interseção dos dois intervalos:

[tex3]x\in]-2,2]\cap]-1,2]\rightarrow x\in]-1,2][/tex3]

[jomatlove]

Olá!
Costumo resolver esse tipo de questão usando apenas inequação produto,que é equivalente à inequação quociente.
[tex3]\frac{2-x}{x+2}\geq 0\rightarrow (2-x)(x+2)\geq 0\rightarrow (x-2)(x+2)\leq 0\rightarrow -2<x\leq 2\rightarrow x\in (-2,2][/tex3]

[tex3]\frac{2-x}{x+1}\geq 0\rightarrow (2-x)(x+1)\geq 0\rightarrow (x-2)(x+1)\leq 0\rightarrow -1<x\leq 2\rightarrow x\in (-1,2][/tex3]

Fazendo a interseção:[tex3]-1<x\leq 2\rightarrow x\in ]-1,2][/tex3]

[LFALCAO]

muito bom mesmo, tem horas que o cérebro trava a e a gente não consegue responder nada. valeu pela ajuda!