Física I ⇒ (EESC-USP) Dinâmica Tópico resolvido

[leomaxwell]

(EESC-USP) É dada uma polia ideal pela qual uma fio também ideal, suportando em suas extremidades os blocos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], de massas respectivamente iguais a 40kg e 24kg, como mostra a figura. A partir de dado instante aplica-se na polia uma força vertical [tex3]\vec{F}[/tex3], cujo sentido é para cima. Sendo [tex3]g=10m/s^2[/tex3], calcule os módulos das acelerações adquiridas pelos blocos nos seguintes casos:
a) [tex3]F=400N[/tex3] b)[tex3]F=720N[/tex3] c)[tex3]F=1200N[/tex3]

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[undefinied3]

Polias ideais se comportam de maneira estranha. Mesmo havendo aceleração no sistema por causa da força suficientemente grande pra cima, para as leis de Newton, sempre consideramos que ela está em equilíbrio. Dessa maneira, podemos escrever:

Para a polia
[tex3]F-2T=m_P.a_P[/tex3]
(No caso, [tex3]m_P=0[/tex3]. Apenas escrevi a equação assim para mais tarde encontrar o vínculo geométrico)
Vamos supor que os dois blocos vão para cima (lembre-se que o referencial é sempre a Terra, e nunca a polia. Repare que, se a força for suficientemente alta, as duas polias podem estar indo para cima, apesar de no referencial da polia, uma estar caindo e a outra subindo.
Bloco A:
[tex3]T-m_Ag=m_A.a_A[/tex3]
Bloco B:
[tex3]T-m_Bg=m_B.a_B[/tex3]
Agora, o vínculo geométrico. O que eu vou falar quase nunca é ensinado, mas é bom saber: a equação do vínculo, caso este não ocorra por contato entre os corpos, ou seja, não é por forças normais, se dá pelos coeficientes que acompanham a força responsável pelo vínculo. O que eu quero dizer? Veja:
[tex3]\begin{cases}
F-\textbf{2T}=m_P.a_P \\
\textbf{T}-m_Ag=m_A.a_A \\
\textbf{T}-m_Bg=m_B.a_B
\end{cases}[/tex3]
A força que causa o vínculo é a tração, portanto não é contato entre os corpos. Os coeficientes em cada equação são -2, 1 e 1. Assim, o vínculo é dado por:
[tex3]-2a_P+a_A+a_B=0 \rightarrow a_A+a_B=2a_P[/tex3]
Agora, vamos a cada letra:
a)
[tex3]\begin{cases}
400-2T=m_P.a_P=0 \rightarrow T=200 \\
T-m_Ag=m_A.a_A \rightarrow 200-400=40a_A \\
T-m_Bg=m_B.a_B \rightarrow 200-240=24a_B \\
a_A+a_B=2a_P
\end{cases}[/tex3]
Só que daí concluimos que as duas acelerações serão negativas. Pelo o que eu entendi da figura, tem um chão que segura as polias no início? Ou esse chão seria removido logo quando a força é aplicada? Considerando que o chão continua, não haverá aceleração, pois uma normal irá impedir que os blocos caiam. Assim, [tex3]a_A=a_B=a_P=0[/tex3]
b)
[tex3]\begin{cases}
720-2T=m_P.a_P=0 \rightarrow T=360 \\
T-m_Ag=m_A.a_A \rightarrow 360-400=40a_A \\
T-m_Bg=m_B.a_B \rightarrow 360-240=24a_B \\
a_A+a_B=2a_P
\end{cases}[/tex3]
Daqui, segue que apenas o bloco B sobe e A continua no chão. Reescrevendo as equações:
[tex3]\begin{cases}
720-2T=m_P.a_P=0 \rightarrow T=360 \\
T-m_Bg=m_B.a_B \rightarrow 360-240=24a_B \rightarrow a_B=5 \\
a_B=2a_P \rightarrow a_P=2,5
\end{cases}[/tex3]
Então a polia sobe com [tex3]2,5m/s^2[/tex3] e o bloco B com [tex3]5m/s^2[/tex3]. O bloco A permanece no chão, parado. Note que de fato era de se esperar que B subisse mais rápido porque pra cada x que a polia sobe, é pra sobrar 2x de corda. Como o lado esquerdo, com o bloco A, não acompanha o movimento, esse 2x de corda fica tudo pro bloco B.
c)
[tex3]\begin{cases}
1200-2T=m_P.a_P=0 \rightarrow T=600 \\
T-m_Ag=m_A.a_A \rightarrow 600-400=40a_A \rightarrow a_A=5 \\
T-m_Bg=m_B.a_B \rightarrow 600-240=24a_B \rightarrow a_B=15 \\
a_A+a_B=2a_P \rightarrow a_P=10
\end{cases}[/tex3]
Então o bloco A sobe com [tex3]5m/s^2[/tex3], o B com [tex3]15m/s^2[/tex3] e a polia com [tex3]10m/s^2[/tex3].

Na verdade, lendo o enunciado direitinho agora, ele nem pede a aceleração das polias... Então não precisava desse vínculo geométrico e nem saber do que eu falei (na verdade do que eu falei não precisa mesmo, dá pra fazer o vínculo na raça analisando o comprimento de corda que sobra quando a polia sobe e precisa ser dividido pra cada bloco). De qualquer forma, fica aí a resolução completinha.

[leomaxwell]

Perfeito! Muito Obrigado!!