Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números: Congruências Tópico resolvido

[rean]

Qual o resto da divisão de [tex3]1!+2!+3!+4!+ \cdots +100![/tex3] por [tex3]36.[/tex3]

[deOliveira]

Note que [tex3]6!=6\times5\times4\times3\times2=36\times20\implies6!\equiv0(\mod36)[/tex3]
Além disso temos para [tex3]n\in\mathbb N[/tex3] e [tex3]n>6[/tex3] que [tex3]n!=n\times(n-1)\times...\times6![/tex3] [tex3]\implies n!\equiv0(\mod 36)[/tex3]
[tex3]\implies 6!+7!+...+100!\equiv0(\mod36)[/tex3]

Fazendo as contas temos que
[tex3]1!\equiv1(\mod36)\\2!\equiv2(\mod36)\\3!\equiv6(\mod36)\\4!\equiv24(\mod36)\\5!\equiv12(\mod36)[/tex3]

Então temos que
[tex3]1!+2!+3!+4!+5!\equiv1+2+3+24+12(\mod36)\\1!+2!+3!+4!+5!\equiv45(\mod36)\\Como\hspace2mm 45\equiv9(\mod36)\hspace2mm temos\hspace2mmque:\\1!+2!+3!+4!+5!\equiv9(\mod36)\\\implies1!+2!+...+100!\equiv9+0(\mod36)\\\boxed{\therefore1!+2!+...+100!\equiv3(\mod36)}[/tex3]
Então o resto da divisão é [tex3]9[/tex3].

Espero ter ajudado .