Olimpíadas ⇒ (PIC) Área Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Na figura a seguir, [tex3]ABCD[/tex3] é um trapézio com lados paralelos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3].
A respeito deste trapézio sabemos que [tex3]\overline{AB}=14cm[/tex3], [tex3]\overline{CD}=5cm[/tex3] e a área do triângulo [tex3]APD[/tex3] é [tex3]12cm^2[/tex3].
Qual a área do triângulo [tex3]BPC[/tex3]?

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[alevini98]

Observe que os triângulos CDP e ABP são semelhantes.

Sabendo que a área do triângulo APD é:

[tex3]12=\frac{\overline{PD}\cdot\overline{AP}\sen{\alpha}}{2}[/tex3]

Esse ângulo [tex3]\alpha[/tex3] é comum aos dois triângulos, já que são opostos pelo vértice no ponto P.

Fazendo semelhança de triângulos para achar as medidas dos lados do triângulo BPC em função dos lados de APD:

[tex3]\frac{\overline{CD}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AP}}\\\\\frac{5}{\overline{PC}}=\frac{14}{\overline{AP}}\\\\\boxed{\overline{PC}=\frac{5\overline{AP}}{14}}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{CD}}{\overline{BP}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{PD}}\\\\\frac{5}{\overline{BP}}=\frac{14}{\overline{PD}}\\\\\boxed{\overline{BP}=\frac{5\overline{PD}}{14}}[/tex3]

Calculando a área do triângulo BPC:

[tex3]A=\frac{\overline{PC}\cdot\overline{BP}\cdot\sen{\alpha}}{2}\\\\A=\frac{5\overline{AP}\cdot5\overline{PD}\cdot\sen{\alpha}}{2\cdot14\cdot14}\\\\A=12\cdot\frac{5\cdot5}{14\cdot14}\\\\\boxed{A_{BPC}=\frac{75}{49}}[/tex3]

[jomatlove]

Boa noite!
Achei a questão interessante,e observando a resolução ache um erro na segunda proporção:
[tex3]\frac{CD}{BP}=\frac{AB}{PD}[/tex3]
Onde o correto é:
[tex3]\frac{CD}{PD}=\frac{AB}{BP}\rightarrow \frac{5}{PD}=\frac{14}{BP}\rightarrow BP=\frac{14PD}{5}[/tex3].
E fazendo os cálculos,vamos obter:[tex3]A_{BPC}=A_{APD}=12cm^{2}[/tex3]
E existe um teorema que prova isso:

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