Olimpíadas ⇒ Ponto de Nagel Tópico resolvido

[Babi123]

Prove que os três segmentos determinados por um vértice e pelo ponto de tangencia da circunferência ex - inscrita com o lado oposto a esse vértice são concorrentes em um ponto chamado ponto de Nagel.

[jedi]

supondo um triangulo qualquer com lados a, b, c;

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por semelhança de triangulos

[tex3]x+a=y+b[/tex3]

[tex3]x+y=c[/tex3]

[tex3]x+a=c-x+b[/tex3]

[tex3]2x=c+b-a[/tex3]

[tex3]x=\frac{c+b-a}{2}[/tex3]

[tex3]y=\frac{c+a-b}{2}[/tex3]

sendo assim se procedermos da mesma forma para os outros lados vamos encontrar as seguinte relações

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agora vamos traçar duas retas ligando dois vertices aos lados opostos b e c no ponto de tangencia das circunferências ex-inscritas a esses lados e traçarmos uma reta ligando o outro vértice ao lado a, passando pela intersecção das outras duas retas.

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precisamos provar que w=u
pela relação da lei dos senos

[tex3]\frac{v}{\sen\alpha}=\frac{a}{\sen(180-\phi)}[/tex3]

[tex3]\frac{v}{\sen\beta}=\frac{a}{\sen(180-\theta)}[/tex3]

dividindo uma equação pela outra

[tex3]\frac{\sen\beta}{\sen\alpha}=\frac{\sen(180-\theta)}{\sen(180-\phi)}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen\beta}{\sen\alpha}=\frac{\sen(\theta)}{\sen(\phi)}[/tex3] (I)

sendo assim

[tex3]\frac{r}{\sen\theta}=\frac{u}{\sen(p)}[/tex3]

[tex3]\frac{r}{\sen\phi}=\frac{a-u}{\sen(q)}[/tex3]

dividindo uma equação pela outra

[tex3]\frac{\sen\theta}{\sen\phi}=\frac{(a-u)\sen(p)}{u\sen(q)}[/tex3] (II)

[tex3]\frac{h}{\sen\beta}=\frac{w}{\sen(p)}[/tex3]

[tex3]\frac{h}{\sen\alpha}=\frac{a-w}{\sen(q)}[/tex3]

dividindo uma equação pela outra

[tex3]\frac{\sen\beta}{\sen\alpha}=\frac{(a-w)\sen(p)}{w\sen(q)}[/tex3] (III)

usando as relações das equações I, II e III

[tex3]\frac{(a-w)\sen(p)}{w\sen(q)}=\frac{(a-u)\sen(p)}{u\sen(q)}[/tex3]

[tex3]\frac{(a-w)}{w}=\frac{(a-u)}{u}[/tex3]

[tex3]ua-uw=wa-uw[/tex3]

[tex3]w=u[/tex3]

então esta provado que as três retas se interceptam no mesmo ponto