Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Geometria espacial métrica - Triedo Tópico resolvido

[felipef]

Na figura a seguir, o triedro de vértice [tex3]C[/tex3] possui os ângulos das faces iguais a [tex3]45º[/tex3]. A aresta [tex3]CD[/tex3] é perpendicular ao plano [tex3](A; B; D)[/tex3] e mede [tex3]1[/tex3]. Determine a área do triângulo [tex3]ABD[/tex3].

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[joaopcarvMOD]

Eu vou tentar, só que não tenho aqui agora como mandar desenhos para melhor explicação.

Podemos considear [tex3]ABCD[/tex3] como sendo uma pirâmide de base [tex3]ABD[/tex3] e altura relativa [tex3]CD[/tex3].

No triângulo [tex3]ACD[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

Veja que, sendo [tex3]CD \perp [/tex3] ao plano de [tex3]ABD[/tex3], [tex3]CD \perp AD[/tex3]. Além disso, [tex3]A\widehat{C}D = 45 ^\circ[/tex3].

Logo, esse triângulo é isósceles e retângulo. Por isso :

[tex3]CD = AD[/tex3]
[tex3]AD = 1[/tex3]

[tex3]AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}[/tex3]
[tex3]AC^{2} = 1^{2} + 1^{2}[/tex3]
[tex3]AC = \sqrt{2}[/tex3]

No triângulo [tex3]BCD[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

De forma análoga, [tex3]BCD[/tex3] também é triângulo retângulo isósceles (porque [tex3]B\widehat{C}D = 45 ^\circ[/tex3], já que é um triedro).

Então, poupando cálculos já feitos, teremos que : [tex3]BD = 1[/tex3] e [tex3]BC = \sqrt{2}[/tex3]

Em [tex3]ABC[/tex3] :

Temos [tex3]AC = BC = \sqrt{2}[/tex3] e [tex3]A\widehat{C}B = 45 ^\circ[/tex3]. Lei do cosseno para [tex3]AB[/tex3] :

[tex3]AB^{2} = BC^{2} + AC^{2} - 2.BC.AC.cos(A\widehat{C}B) [/tex3]

Substituindo os valores, temos :

[tex3]AB^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} - 2.\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{2}/2 [/tex3]

[tex3]AB^{2} = (2 + 2 - 2.\sqrt{2}) [/tex3]

[tex3]AB^{2} = (4 - 2.\sqrt{2}) [/tex3]

No triângulo [tex3]ABD \rightarrow[/tex3]

Temos [tex3]AD = BD = 1[/tex3] e [tex3]AB^{2} = (4 - 2.\sqrt{2}) [/tex3]. Fazendo a lei do cosseno para o ângulo [tex3]A\widehat{D}B[/tex3] :

[tex3]AB^{2} = AD^{2} + BD^{2} - 2.AD.BD.cos(A\widehat{D}B)[/tex3]

[tex3](4 - 2.\sqrt{2}) = 1^{2} + 1 ^{2} - 2.1.1.cos(A\widehat{D}B) [/tex3]

[tex3]4 - 2.\sqrt{2} = 2 - 2.cos(A\widehat{D}B)[/tex3]

[tex3]2 - \sqrt{2} = 1 - cos(A\widehat{D}B)[/tex3]

[tex3]1 - \sqrt{2} = - cos(A\widehat{D}B)[/tex3]

[tex3]cos(A\widehat{D}B) = \sqrt{2} - 1[/tex3]

Da relação fundamental, [tex3]sen(A\widehat{D}B)^{2} + cos(A\widehat{D}B)^{2} = 1[/tex3]

[tex3]sen(A\widehat{D}B)^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{2} = 1[/tex3]

[tex3]sen(A\widehat{D}B)^{2} + 2 - 2.\sqrt{2} + 1 = 1[/tex3]

[tex3]sen(A\widehat{D}B)^{2} = 2.\sqrt{2} - 2[/tex3]

[tex3]sen(A\widehat{D}B)^{2} = 2.(\sqrt{2} - 1)[/tex3]

[tex3]sen(A\widehat{D}B) = + \sqrt{2.(\sqrt{2} - 1)}[/tex3] (este ângulo é agudo)

Por fim, [tex3]A(tri) = \frac{La . Lb . sen (\theta)}{2}[/tex3], em que [tex3]A(tri)[/tex3] é a área de um triângulo com lados [tex3]La[/tex3] e [tex3]Lb[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3] o ângulo entre esses lados.

Logo, [tex3]A(ABD) = \frac{AD.BD.sen(A\widehat{D}B)}{2}[/tex3]

[tex3]A(ABD) = \frac{1.1.\sqrt{2.(\sqrt{2} - 1)}}{2}[/tex3]

[tex3]A(ABD) = \frac{\sqrt{2.(\sqrt{2} - 1)}}{2}[/tex3]

[joaopcarvMOD]

resultado muito quebrado... vou conferir de novo os meus cálculos, mas você tem o gabarito mesmo assim?

e, a propósito, o título refere-se ao tema "poliedros" ou é uma questão daquela escola "Poliedro"? (de um simulado, por exemplo)

[felipef]

Ops, esqueci de colocar o gabarito:
[tex3]\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{2}[/tex3]

(Sim, é um exercício do livro do cursinho Poliedro.)

[joaopcarvMOD]

agora que percebi : então está certo o meu resultado, eu só deixei em evidência (eu considerei um parênteses inexistente no seu gabarito rsrsr)
[tex3]\frac{\sqrt{2.(\sqrt{2} - 1)}}{2} \ \rightarrow [/tex3] Fazendo a distributiva :

[tex3]\frac{\sqrt{2\sqrt{2} - 2}}{2} \ \rightarrow[/tex3] Então é isso rsrs

[joaopcarvMOD]

Então é isso, acredito rsrs

[joaopcarvMOD]

Você faz cursinho no Poliedro? Eu faço no Etapa, não sei se conhece...

[felipef]

Não faço cursinho. Comprei o material usado de uma garota (aprovada em Direito na USP) e estudo (sofro) sozinho, rs.

[joaopcarvMOD]

Mas vai dar certo. Tem que dar certo! rs Tomara que ano que vem vc esteja na FAU e eu na POLI *-*

[felipef]

Muito obrigado pela ajuda!