IME / ITA ⇒ (EEAR - 2001) Geometria Analítica: Reta Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A reta de equação [tex3]x + 2y + c = 0:[/tex3]

a) é perpendicular à reta [tex3]2x + y + c = 0.[/tex3]
b) é paralela à reta [tex3]2x – 4y + c = 0.[/tex3]
c) tem distância ao ponto [tex3](- c, 1)[/tex3] igual a zero.
d) forma um ângulo de [tex3]\frac{\pi}{4}\text{rad}[/tex3] com a reta [tex3]3x + y + c = 0[/tex3]

[Thales Gheós]

[tex3]\begin{cases}x+2y+c=0\\y=-\frac{x}{2}-\frac{c}{2}\end{cases}[/tex3] é uma família de retas paralelas entre si, com coeficiente angular [tex3]m=-\frac{1}{2}[/tex3]

a família de retas perpendiculares a elas é [tex3]\begin{cases}y=2x-\frac{c}{2}\\y-2x+\frac{c}{2}=0\end{cases}[/tex3] com coeficiente angular [tex3]m=2[/tex3]

a) é perpendicular à reta [tex3]2x+y+c=0[/tex3].

[tex3]\begin{cases}2x+y+c=0\\y=-2x-c\end{cases}[/tex3] coeficiente angular [tex3]m=-2[/tex3]. Resposta:Não

b) é paralela à reta [tex3]2x-4y+c=0[/tex3].

[tex3]\begin{cases}2x–4y+c=0\\x-2y+\frac{c}{2}\\y=\frac{x}{2}+\frac{c}{4}\end{cases}[/tex3] coeficiente angular [tex3]m=\frac{1}{2}[/tex3] Resposta: Não

c) tem distância ao ponto [tex3](-c,1)[/tex3] igual a zero.

para isso o ponto deve pertencer à reta: [tex3]\begin{cases}x+2y+c=0\\{-c}+2+c\neq0\end{cases}[/tex3] o ponto não pertence à reta. Resposta: Não

d) forma um ângulo de [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] rd com a reta [tex3]3x+y+c=0[/tex3]

[tex3]\begin{cases}3x+y+c=0\,\rightarrow\,y=-3x-c\,\,\,\,m_2=-3\\x+2y+c=0\,\rightarrow\,y=-\frac{x}{2}\,\,\,\,m_1=-\frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

os coeficientes angulares são as tangentes dos ângulos formados com o eixo das abscissas (eixo dos x). Podemos encontrar o valor de [tex3]\tan(a-b)[/tex3], sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os ângulos cujas tangentes são respectivamente [tex3]m_2[/tex3] e [tex3]m_1[/tex3]:

[tex3]\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\cdot \tan(b)}\\\tan(a-b)=\frac{-2,5}{2,5}\,\rightarrow\,\tan(a-b)=-1\\a-b=-\frac{\pi}{4}[/tex3]

Resposta: Sim