Ensino Médio ⇒ Trinômio do 2° grau

[Presa]

Qual o valor de [tex3]\lambda[/tex3] no trinômio [tex3]f(x)=x^2-4b^2x+\lambda-2a^2+b^4[/tex3] de modo que ele possa ser escrito como uma soma de dois quadrados ?

A) [tex3]\lambda<-4b^2[/tex3]
B) [tex3]\lambda>2a^2+3b^4[/tex3]
C) [tex3]\lambda=-2a^2+b^4[/tex3]
D) [tex3]\lambda<b^2[/tex3]

Resposta

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Gabarito Letra B

[petrasMOD]

@Presa,
Vamos completar o quadrado em [tex3]x^2-4b^2x[/tex3]:
O termo de primeiro grau é [tex3]-4b^2x[/tex3].
Para formar um quadrado perfeito do tipo [tex3](x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2[/tex3]:[tex3]-2kx = -4b^2x \implies k = 2b^2[/tex3]
O termo constante necessário para fechar o quadrado é [tex3]k^2 = (2b^2)^2 = 4b^4[/tex3].
Portanto:[tex3]f(x) = (x^2 - 4b^2x + 4b^4) - 4b^4 + \lambda - 2a^2 + b^4\\f(x) = (x - 2b^2)^2 + (\lambda - 2a^2 - 3b^4)[/tex3]
Para que f(x) seja a soma de dois quadrados, a expressão deve assumir a forma [tex3]A^2 + B^2[/tex3]. Como já temos[tex3] (x - 2b^2)^2[/tex3], o termo restante deve ser um quadrado perfeito (ou seja, [tex3]\ge 0[/tex3]):[tex3]\lambda - 2a^2 - 3b^4 = B^2[/tex3]
Para que exista um valor real B tal que seu quadrado satisfaça a igualdade, é necessário que:[tex3]\lambda - 2a^2 - 3b^4 > 0 \implies \boxed{ \lambda > 2a^2 + 3b^4}[/tex3]