Ensino Superior ⇒ Teorema de stokes calculo 3 Tópico resolvido

[johnatta]

Use o Teorema de Stokes para calcular

rotF · dS, onde F (x, y, z) = cos(z)e^(xy)i + zx^2j + xyk e S ´e o hemisf´erio x =1 -y^2− z^2, orientado na dire¸cao do eixo x positivo.

Gab =0

alguem que possa me ajudar ? por favor, não pule etapas durante a resolução. Obrigado !

[jedi]

[tex3]\iint_S\vec{\nabla}\times\vec{F}ds=\oint _C\vec{F}.dr[/tex3]

a curva C é definida pela circunferência no plano yz em x=0 com raio 1

[tex3]x=0[/tex3]

[tex3]y=\cos(t)[/tex3]

[tex3]z=\sen(t)[/tex3]

[tex3]\vec{r}=(0,\cos(t),\sen(t))dt[/tex3]

[tex3]\iint_S\vec{\nabla}\times\vec{F}ds=\int_0^{2\pi}\left(\cos(\sen(t)).e^{0.\cos(t)},\sen(t).0^2,0.\cos(t)\right).\left(0,\cos(t),\sen(t)\right)dt[/tex3]

[tex3]\iint_S\vec{\nabla}\times\vec{F}ds=\int_0^{2\pi}0+0+0dt=0[/tex3]

[johnatta]

Não entendi pq y=cost ? não seria y=sent ? Outra coisa como voce chegou a que a curva é definida no plano yz em x=0

[jedi]

O plano é um paraboloide na direção postiva do eixo x, portanto ele esta limitado em x=0
substituindo na equação do plano

[tex3]0=1-y^2+z^2[/tex3]

[tex3]y^2+z^2=1[/tex3]

isso é uma circunferência no plano yz com raio igual a 1
por isso parametrizei desta forma

[johnatta]

Obrigado pela ajuda !