IME / ITA ⇒ (EN - 1999) Vetores: Produto Escalar Tópico resolvido

[vivianpibn]

Considerando u, v e w vetores.
Se [tex3]u + v + w = 0[/tex3], [tex3]|u| = 3/2[/tex3], [tex3]|v| = 1/2[/tex3] e [tex3]|w| = 2[/tex3], o valor da soma dos produtos escalares [tex3]u \cdot v + v \cdot w + u \cdot w[/tex3] é igual a:

a) 1
b) 0
c) -1/4
d) -1
e) -13/4

[mvgcsdf]

Oi, Vivian. Eleve ambos os lados ao quadrado, aí vc consegue encontrar o resultado, que, se não me engano, -13/4.

[cajuADMIN]

olá vivianpibn,

É dada a informação que a soma dos vetores é ZERO, ou seja, se representarmos graficamente estes vetores, teremos um triângulo, como no desenho abaixo:

2_vetores2_1.jpg (4.6 KiB) Exibido 333 vezes

Este é o primeiro esboço da questão. Mas, ao ver o tamanho dos lados do triângulo, vemos que [tex3]\frac 32+\frac 12=2[/tex3], ou seja, este triângulo não existe. A figura real tem os 3 vetores na mesma direção e [tex3]\vec u[/tex3] com [tex3]\vec v[/tex3] no mesmo sentido e ambos no sentido oposto a [tex3]\vec w[/tex3]

A figura real seria assim:

2_vetores_1.jpg (3.5 KiB) Exibido 333 vezes

Assim, vemos que o ângulo entre [tex3]\vec u[/tex3] e [tex3]\vec v[/tex3] é [tex3]\theta=0^{\circ}[/tex3], o ângulo entre [tex3]\vec v[/tex3] e [tex3]\vec w[/tex3] é [tex3]\beta=180^{\circ}[/tex3] e o ângulo entre [tex3]\vec w[/tex3] e [tex3]\vec u[/tex3] é [tex3]\alpha=180^{\circ}[/tex3]

Agora vamos ver como fica os produtos escalares pedidos:

[tex3]\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\cdot |\vec v|\cdot\cos \theta=\frac 32\cdot\frac 12\cdot \cos 0^{\circ}=\frac 34[/tex3]

[tex3]\vec v\cdot\vec w=|\vec v|\cdot |\vec w|\cdot\cos \beta=\frac 12\cdot 2\cdot\cos 180^{\circ}=-1[/tex3]

[tex3]\vec u\cdot\vec w=|\vec u|\cdot |\vec w|\cdot\cos \alpha=\frac 32\cdot 2\cdot\cos 180^{\circ}=-3[/tex3]

Somando temos [tex3]{-}\frac{13}{4}[/tex3]

P.S.: mvgcsdf, envie sua resolução para nossa apreciação.

[mvgcsdf]

u + v + w = 0,|u| = 3/2, |v| = 1/2 e |w| = 2.
Elevando u + v + w = 0 teremos:
(u + v + w)(u + v + w) = 0
[tex3]u^2[/tex3] + uv + uw + uv + [tex3]v^2[/tex3] + vw + uw + vw + [tex3]w^2[/tex3] = 0.
[tex3]u^2 + v^2 + w^2[/tex3] + 2uw + 2 vw + 2uv = 0
[tex3]u^2 + v^2 + w^2[/tex3] + 2(uw + vw + uv) = 0
Se |u| = 3/2, então [tex3]u^2 = \frac{9}{4}[/tex3]
Se |v| = 1/2, então [tex3]v^2 = \frac{1}{4}[/tex3]
Se |w| = 2, então [tex3]v^2[/tex3] = 4.
Substituindo em [tex3]u^2 + v^2 + w^2[/tex3] + 2(uw + vw + uv) = 0, teremos:
[tex3]\frac{9}{4} + \frac{1}{4}[/tex3] + 4 + 2(uw + vw + uv) = 0
[tex3]\frac{5}{2}[/tex3] + 4 + 2(uw + vw + uv) = 0
[tex3]\frac{13}{2}[/tex3] + 2(uw + vw + uv) = 0
2(uw + vw + uv) = - [tex3]\frac{13}{2}[/tex3]
Logo, uw + vw + uv = - [tex3]\frac{13}{4}[/tex3]
É isso. Se tem alguma coisa errada, é só falar.

[cajuADMIN]

Olá mvgcsdf,

Muito legal sua resolução. Está correta, sim!

Só uma dica quanto à sua redação. Ao digitar uma equação utilizando o TeX, utilize o TeX na equação inteira, não somente na parte que não pode digitar.

Por exemplo,

[tex3]u^2 + v^2 + w^2[/tex3]+ 2uw + 2 vw + 2uv = 0

Em vez de escrever desta maneira, escreva assim:

[tex3]u^2+v^2+w^2+ 2uw + 2 vw + 2uv = 0[/tex3]

Pois os números estarão todos no mesmo alinhamento e utilizando a mesma fonte, fica muito mais claro.

[jvmago]

Mestre Caju, como o senhor pode concluir que os vetores U e V estão no mesmo sentido e que o vetor W é oposto formando 180?

Desde já obrigado

[cajuADMIN]

Olá jvmago,

O enunciado deu as informações de que a soma é ZERO e deu o módulo de cada vetor.

Assim, com a informação de que a soma é ZERO podemos concluir que, desenhando os vetores, teremos algo como a imagem abaixo:

vetor_1.jpg (3.23 KiB) Exibido 3879 vezes

Mas, veja que a imagem acima tem uma inconsistência!

Somando 3/2 com 1/2 teremos 2. Ou seja, não dá pra desenhar o triângulo acima! Assim, concluímos que a configuração dos três vetores é a seguinte:

vetor_2.jpg (4.33 KiB) Exibido 3879 vezes

Grande abraço,
Prof. Caju