Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 2006) Função Composta Tópico resolvido

[naty_naty_n]

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Se na figura temos os esboços dos gráficos das funções [tex3]f(x)=\log_2 x[/tex3] e [tex3]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex3], então [tex3]g\(f\(\frac{1}{8}\)\)[/tex3] é igual a:

a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18

[claudiomarianosilveira]

Veja um gráfico auxiliar com os pontos já marcados:

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Vamos a resolução :

1°) Como o ponto de corte da parábola em [tex3]y[/tex3] é [tex3]2,[/tex3] o termo independente vale [tex3]2,[/tex3] ou seja, [tex3]c=2[/tex3].
E como a função Logaritmica sem deslocamentos sempre corta no ponto [tex3](1,0) ; 1[/tex3] é uma das raízes da parábola.

2°) Descobrindo quanto vale [tex3]x[/tex3] quando [tex3]y=2[/tex3]:

[tex3]f(x)=\log_2 x \rightarrow 2=\log_2 x \rightarrow 2^2=x \rightarrow 4 = x \rightarrow {\boxed{\text{Ponto (4,2)}}}[/tex3]

Então:

[tex3]g(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow g(4) = 4^2a + 4b + 2 \rightarrow 2 = 16a + 4b + 2 \rightarrow \boxed{16a + 4b = 0}[/tex3]

Agora utilizando o Ponto [tex3](1,0)[/tex3]:

[tex3]g(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow g(1) = a + b + 2 \rightarrow 0 = a + b + 2 \rightarrow \boxed{a + b = -2}[/tex3]

Montando agora um sisteminha , vem que:

[tex3]\begin{cases}16a + 4b = 0\,\,\,(I)\\\\a + b = -2\,\,\,(II)\end{cases}[/tex3]

Isolando [tex3]a[/tex3] na [tex3](I)[/tex3] vem que:

[tex3]a=-b-2[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]a[/tex3] na [tex3](II)[/tex3] vem que:

[tex3]16\cdot(-b-2)+4b=0 \rightarrow -16b-32+4b=0 \rightarrow -12b-32=0 \rightarrow b=-\frac{32}{12} \rightarrow {\boxed{b=-\frac{8}{3}}}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]b[/tex3] na [tex3](I)[/tex3] vem que:

[tex3]a-\frac{8}{3}=-2 \rightarrow \boxed{a=\frac{2}{3}}[/tex3]

Descobrindo a [tex3]f\(\frac{1}{8}\)[/tex3]:

[tex3]f(x)=\log_2 x[/tex3]

[tex3]f\(\frac{1}{8}\)=\log_2\frac{1}{8}[/tex3]

[tex3]f\(\frac{1}{8}\)=-3[/tex3]

Fazendo a [tex3]g\(f\(\frac{1}{8}\)\)[/tex3]:

[tex3]g(x) = ax^2 + bx + c[/tex3]

[tex3]g\(f\(\frac{1}{8}\)\) = a\cdot{\(f\(\frac{1}{8}\)\)^2 + b\cdot{\(f\(\frac{1}{8}\)\) + c}}[/tex3]

[tex3]g(-3) = a\cdot{(-3)^2 + b\cdot{-3 + c}}[/tex3]

Colocando os valores de [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]:

[tex3]g(-3) = \frac{2}{3}\cdot{(-3)^2 -\frac{8}{3}\cdot{-3 + 2}}[/tex3]

[tex3]g(-3) = \frac{2}{3}\cdot{9 +8 + 2}[/tex3]

[tex3]g(-3) =6+8 + 2[/tex3]

[tex3]g(-3) =16[/tex3] ou seja: [tex3]g\(f\(\frac{1}{8}\)\)=16[/tex3]

Letra [tex3]c[/tex3]