IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1953) Raiz Quadrada

[nanzinho12]

Calcular [tex3]\sqrt{21}[/tex3] com erro inferior [tex3]\frac{1}{8}[/tex3] .

Alguém puder ajudar.

[Marcos]

Olá nanzinho12.Observe a solução:

O processo referente à aproximação de raiz quadrada pode ser caracterizado por três passos.

[tex3]\leadsto[/tex3]Primeiro passo : Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número [tex3]21[/tex3].

[tex3]4^2 < 21 < 5^2[/tex3]
[tex3]16 < 21 < 25[/tex3]

[tex3]\leadsto[/tex3]Segundo passo : Determinar o possível intervalo que será raiz de [tex3]21[/tex3] e fazer a estimativa variando as casas decimais.

Conseguimos determinar que o número [tex3]21[/tex3] está entre os números quadrados perfeitos [tex3]16[/tex3] e [tex3]25[/tex3].Então o número que será a raiz de [tex3]21[/tex3] está entre [tex3]4[/tex3] e [tex3]5[/tex3].Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal.

[tex3](4,1).(4,1)=(4,1)^2=16,81[/tex3]
[tex3](4,2).(4,2)=(4,2)^2=17,64[/tex3]
[tex3](4,3).(4,3)=(4,3)^2=18,49[/tex3]
[tex3](4,4).(4,4) =(4,4)^2=19,36[/tex3]
[tex3](4,5).(4,5)=(4,5)^2=20,25[/tex3]
[tex3](4,6).(4,6)=(4,6)^2=21,16[/tex3]

[tex3]\leadsto[/tex3]Terceiro passo : Definir qual dos valores da estimativa é raiz.

Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de [tex3]21[/tex3], é decidir se a raiz é o número [tex3]4,5[/tex3] ou [tex3]4,6[/tex3].Por convenção, temos que a raiz de [tex3]21[/tex3] é dada pelo menor valor. Sendo assim, temos que a raiz de [tex3]21[/tex3] é [tex3]\boxed{\boxed{4,5}}[/tex3].

Resposta: [tex3]4,5[/tex3].

[LucasPinafiMOD]

Mas o erro seria menor que 1/8?

[Marcos]

Mas o erro seria menor que 1/8?

Olá LucasPinafi e nanzinho12.Observe uma 2ª solução:

Referência: Manoel Jairo Bezerra - [tex3]Questões \ de \ Exames \ de \ Admissão[/tex3] - Edição COMPANHIA EDITORA NACIONAL - 1953 pág.:106.

[tex3]\frac{\sqrt{21 \times 8^2}}{8}=\frac{\sqrt{1344}}{8}[/tex3]

A raiz quadrada inteira de [tex3]1344[/tex3] é [tex3]36[/tex3], e [tex3]\sqrt{21}[/tex3] com aproximação de [tex3]\frac{1}{8}[/tex3] será: [tex3]\boxed{\boxed{\frac{36}{8}}}[/tex3].

Resposta: [tex3]\frac{36}{8}[/tex3].

[MatheusBorgesMOD]

Pessoal, no livro do Ruffino ele apresenta um modo que garante na segundo tentativa ou no terceiro número cálculo estimativas muito boas com estimativas muito mais muito melhores que [tex3]\frac{1}{8} [/tex3] já na segunda tentativa.
''Método da sequência recorrente''
2 passos basicamente
1. Escolhe-se a0> 0 tal que [tex3]a0^{2}\geq n[/tex3];
2.Calcula-se ak=[tex3]\frac{1}{2}.(ak-1+\frac{n}{ak-1})[/tex3] para k= 1,2,3,4,5,....
Escolha para a0 o menor inteiro que seja maior que a raiz quadrada de n.
Vamos lá [tex3]\sqrt{21} \rightarrow \frac{1}{2}.(5+\frac{21}{6})=\frac{46}{10}=4.6[/tex3]
Perceba, na 1 tentativa a aproximação que já encontramos é bem próxima com utilizando somente as 4 operações e rapidamente, por isso é importante que se escolha para a0 o menor inteiro que seja maior que a raiz quadrada de n.
[tex3]\frac{1}{2}.(\frac{46}{10}+\frac{21}{\frac{46}{10}})=\frac{1}{2}.(\frac{2116+2100}{460})=4.5826087[/tex3] eu não sei se no vestibular pode mas eu prefiro colocar em fração e de preferência irredutível [tex3]\frac{527}{115}[/tex3].