Ensino Médio ⇒ Triângulo de Pascal: Teorema das Linhas Tópico resolvido

[rodri200go]

Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?

[claudiomarianosilveira]

Acompanhe a resolução:

Se das dez portas eu escolher apenas 1 para abrir: [tex3]C_{10,1}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 2 para abrir: [tex3]C_{10,2}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 3 para abrir: [tex3]C_{10,3}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 4 para abrir: [tex3]C_{10,4}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 5 para abrir: [tex3]C_{10,5}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 6 para abrir: [tex3]C_{10,6}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 7 para abrir: [tex3]C_{10,7}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 8 para abrir: [tex3]C_{10,8}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 9 para abrir: [tex3]C_{10,9}[/tex3]

Se das dez portas eu escolher 10 para abrir: [tex3]C_{10,10}[/tex3]

Então , teremos:

[tex3]\boxed{C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}=x}[/tex3]

Agora devemos lembrar de uma propriedade importante:

Na combinação : [tex3]\boxed{C_{n,P}}[/tex3]

• A soma de todos elementos da mesma linha é igual a [tex3]2^n,[/tex3] onde [tex3]n=[/tex3] nº da linha.

Então, vem que:

[tex3]\boxed{C_{10,0}+C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}=2^{10}}[/tex3]

Agora voltamos ao exercício utilizando a propriedade acima lembrada:

[tex3]C_{10,0}+\boxed{C_{10,1}+C_{10,2}+C_{10,3}+C_{10,4}+C_{10,5}+C_{10,6}+C_{10,7}+C_{10,8}+C_{10,9}+C_{10,10}}=2^{10}[/tex3]

[tex3]C_{10,0}+\boxed{x}=2^{10}[/tex3]

[tex3]1+x=1024[/tex3]

[tex3]\boxed{x=1023}[/tex3]

Portanto existem [tex3]1023[/tex3] maneiras diferentes de se abrir uma sala de [tex3]10[/tex3] portas.

[rodri200go]

Obrigado Cláudio!

[paulo testoniMOD]

Hola Rodrigo e Claudio.

Precisamos simplificar as coisas, veja:

Uma porta pode estar aberta ou fechada, logo temos duas (2) situações possíveis. Como temos 10 portas, então:

[tex3]2^{10} = 1024[/tex3]

Precisamos atentar para o fato de que uma (1) situação não interessa que é aquela em que todas as portas estão fechadas. Sendo assim, temos:

[tex3]2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023[/tex3].