Pré-Vestibular ⇒ (Unirio - 2000) Equações Trigonométricas Tópico resolvido

[petrasMOD]

Considere a função definida por

[tex3]f(x) =\tan^{3} [x+(\pi /2)] - \tan [(x+(\pi /2)][/tex3], sendo, [tex3]x \,\in\,\, ]\,0, \,\pi\, [[/tex3].

a) Determine os valores de [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]f(x)=0[/tex3].

Resposta

---

[tex3](x=\pi /4\,\,\,\ ou\,\,\,\,x= \pi /2\,\,\,\, ou\,\,\,\, x=3\pi /4)[/tex3]

b) Encontre os valores de [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]\log_{2} 1 < f(x)[/tex3].

Resposta

---

[tex3]0 < x < \pi/4\,\,\,\, ou\,\,\,\, \pi/2 < x < 3\pi /4[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Jovem.

Notemos que

[tex3]\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\cot x[/tex3]

Então,

[tex3]f(x)= -\cot^3x+\cot x= 0 [/tex3]

[tex3]\cot x\,(\cot ^2x-1) = 0[/tex3]

[tex3]\cot x= 0\,\,\,ou\,\,\,\cot x = 1\,\,\,\,ou\,\,\,\,\cot x=-1[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi}{2} \,\,\,ou\,\,\,x = \frac{\pi}{4}\,\,\,\,ou\,\,\,\,\frac{3\pi}{4}[/tex3]


Lembrando que [tex3]\log_2 1=0[/tex3], então

[tex3]f(x)>0[/tex3]

[tex3]-\cot^3x+\cot x>0[/tex3]

Fazendo [tex3]y=\cot x[/tex3], temos

[tex3]-y^3+y>0[/tex3]

Multiplicando por [tex3]-1[/tex3] nos dois lados,

[tex3]y^3-y<0[/tex3]

[tex3]y\,(y+1)(y-1)<0[/tex3]

Aplicando o quadro de sinais,

[tex3]y<-1\,\,\,ou\,\,\,0< y < 1[/tex3]

Logo,

[tex3]\cot x<-1\,\,\,ou\,\,\,0< \cot x < 1[/tex3]

Para [tex3]\cot x<-1[/tex3], ou seja, [tex3]\cot x<\cot \frac{3\pi}{4}[/tex3] temos que [tex3]\frac{3\pi}{4}< x< \pi [/tex3]

Para [tex3]0< \cot x < 1[/tex3], isto é, [tex3]\cot\frac{\pi}{4}<\cot x<\cot \frac{\pi}{2}[/tex3] temos que [tex3]\frac{\pi}{4}< x< \frac{\pi}{2} [/tex3]

Portanto, a solução será

[tex3]\frac{\pi}{4}< x< \frac{\pi}{2}\,\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,\frac{3\pi}{4}< x< \pi[/tex3]

Espero ter ajudado. Abraço.

[petrasMOD]

Perfeito, grato jrneliodias