Pré-Vestibular ⇒ (FACCEBA) Progressão Aritmética x Progressão Geométrica

[Cinthia]

A soma de três números em progressão geométrica é [tex3]70.[/tex3] Multiplicando-se os termos extremos por [tex3]4[/tex3] e o termo médio por [tex3]5,[/tex3] os produtos obtidos estarão em progressão aritmética. O produto desses três números é igual a:

a) [tex3]11880[/tex3]
b) [tex3]11250[/tex3]
c) [tex3]8640[/tex3]
d) [tex3]8000[/tex3]
e) [tex3]1200[/tex3]

Alguem pode me ajudar, por favor?

[triplebig]

[tex3]a\,+\,aq\,+\,aq^2\,=\,70[/tex3]

[tex3]4a\,+\,5aq\,+\,4aq^2\,\,\Longrightarrow\,\,4aq^2\,-\,5aq\,=\,5aq\,-\,4a\,\,\Longrightarrow\,\,q\,=\,2\,\,\text{ou}\,\,q\,=\,\Large\frac{1}{2}\large[/tex3]

[tex3]a\,+\,a(2)^2\,+\,a(2)\,=\,70\,\,\Longrightarrow\,\,a\,=\,10[/tex3]

[tex3]\text{PG}: \,\,10\,,\,20\,,\,40[/tex3]

[tex3]10\,\cdot\,20\,\cdot\,40\,=\,\boxed{8000}[/tex3]

[Natan]

pelos dados do problema temos:

[tex3](a, b, c)[/tex3] PG e [tex3](4a, 5b, 4c)[/tex3] PA e sabemos que [tex3]a+b+c=70[/tex3] (I)

na PA temos que:

[tex3]5b-4a=4c-5b[/tex3], daí [tex3]a+c=\frac{5b}{2}[/tex3] (II)

vamos substituir (II) em (I):

[tex3]b+\frac{5b}{2}=70[/tex3] assim achamos [tex3]b=20[/tex3]

tb na PG temos:

[tex3]\frac{b}{a}=\frac{c}{b}[/tex3]

[tex3]a.c=b^2[/tex3]

[tex3]a.c=400[/tex3]

até agora sabemos q [tex3]a+c=70[/tex3] e [tex3]a.c=400[/tex3], analisando um pouco vemos q os únicos valores possíveis são [tex3]a=10[/tex3] e [tex3]c=40[/tex3], lembrando q já sabiamos q [tex3]b=20[/tex3], como a questão pede o produto deles temos:

[tex3]a.b.c=10.20.40=8000[/tex3], letra "d".