Pré-Vestibular ⇒ (UNIP) Progressão Aritmética x Progressão Geométrica

[Cinthia]

A seqüência [tex3]( a, a+b, 2a, \ldots)[/tex3] é uma progressão aritmética e a seqüência [tex3]( a, a+b, 2a+4, \ldots)[/tex3] é uma progressão geométrica. A soma dos dez primeiros termos da progressão aritmética é:

a) [tex3]88[/tex3]
b) [tex3]260[/tex3]
c) [tex3]490[/tex3]
d) [tex3]520[/tex3]
e) [tex3]1040[/tex3]

Alguem pode me ajudar, por favor?

[Natan]

Em toda PA um termo qualquer menos o seu antecessor é igual a razão então na PA dada temos:

• [tex3](a+b)-a=2a-(a+b)[/tex3]
  
  [tex3]a+b-a=a-b[/tex3]
  
  [tex3]b=\frac{a}{2}[/tex3] (I)

Já na PG qualquer termo dividido pelo seu antecessor é que resulta na razão, assim:

• [tex3]\frac{(a+b)}{a}=\frac{2a+4}{(a+b)}[/tex3]
  
  [tex3](a+b)^2=2a^{2}+4a,[/tex3]

Agora iremos substituir [tex3]b[/tex3] por [tex3]\frac{a}{2}.[/tex3]

• [tex3](a+\frac{a}{2})^2=2a^{2}+4a,[/tex3]

Proseguindo chegaremos a seguinte equação do 2° grau:

• [tex3]a^{2}-16a=0,[/tex3] com [tex3]a=16[/tex3]

Logo podemos concluir que [tex3]b=8.[/tex3]

Substituindo na PA temos:

• [tex3](16, 24, 32,\ldots)[/tex3]

Cujo décimo termo é dado por:

• [tex3]a_{10}=16+9\cdot 8=88[/tex3]

Assim a soma dos termos da PA será:

• [tex3]S_{10}=\frac{(16+88)\cdot 10}{2}=520.[/tex3]

Letra (d).