Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica (livro do Paulo Boulos) Tópico resolvido

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É dado um triângulo ABC e os pontos X, Y, Z tais que AX = mXB (vetores), BY = nYC (vetores), CZ = pZA (vetores). Exprima CX, AY, BZ (vetores) em função de CA e CB ( e m, n, p).

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

15507770168272366293890773038237.jpg (43.27 KiB) Exibido 3733 vezes

Do triângulo ABC, podemos extrair que;

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\vec{AX}[/tex3]

Mas,

[tex3]\vec{AX}=m\vec{XB}[/tex3]

Então;

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+m\vec{XB}[/tex3] ( l )



Por outro lado;

[tex3]\vec{XB}=\vec{XC}+\vec{CB}[/tex3] ( l l ) ( Ver triângulo ABC )


Substituindo ( l l ) em ( l ), vem;

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+m(\vec{XC}+\vec{CB})[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+m\vec{XC}+m\vec{CB}[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}-m\vec{CX}+m\vec{CB}[/tex3]

[tex3](m+1).\vec{CX}=\vec{CA}+m\vec{CB}[/tex3]

Logo;

[tex3]\vec{CX}=\frac{1}{m+1}\vec{CA}+\frac{m}{m+1}\vec{CB}[/tex3]

Obs2. Eu não sei como estar o gabarito do livro, porém , podemos representar essa mesma solução assim;

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\frac{m(\vec{CB}-\vec{CA})}{m+1}[/tex3]




Vamos agora encontrar [tex3]\vec{AY}[/tex3].Novamente, do triângulo ABC , temos que:

[tex3]\vec{AY}=\vec{AC}+\vec{CY}[/tex3] ( l )

Por outro lado;

[tex3]\vec{CB}=\vec{CY}+\vec{YB}[/tex3] ( Ver triângulo ABC )

[tex3]\vec{CB}=\vec{CY}-\vec{BY}[/tex3]

Mas,

[tex3]\vec{BY}=n\vec{YC}[/tex3]

Então;

[tex3]\vec{CB}=\vec{CY}-n\vec{YC}[/tex3]

[tex3]\vec{CB}=\vec{CY}+n\vec{CY}[/tex3]

[tex3]\vec{CB}=(1+n).\vec{CY}[/tex3]

[tex3]\vec{CY}=\frac{1}{n+1}\vec{CB}[/tex3] ( l l )

Substituindo ( l l ) em ( l ), fica;

[tex3]\vec{AY}=\vec{AC}+\frac{1}{n+1}\vec{CB}[/tex3]

Logo;

[tex3]\vec{AY}=\frac{1}{n+1}\vec{CB}-\vec{CA}[/tex3]




Por fim, vamos determinar [tex3]\vec{BZ}[/tex3], mais uma vez, do triângulo ABC, tiramos que;

[tex3]\vec{BZ}=\vec{BC}+\vec{CZ}[/tex3]

Mas,

[tex3]\vec{CZ}=p\vec{ZA}[/tex3]

Então;

[tex3]\vec{BZ}=\vec{BC}+p\vec{ZA}[/tex3]

Ou

[tex3]\vec{BZ}=-\vec{CB}+p\vec{ZA}[/tex3] ( l )


Por outro lado;

[tex3]\vec{CA}=\vec{CZ}+\vec{ZA}[/tex3] ou [tex3]\vec{CZ}=\vec{CA}+\vec{AZ}[/tex3] ( ver triângulo ABC )

Vamos trabalhar mesmo com [tex3]\vec{CA}=\vec{CZ}+\vec{ZA}[/tex3] está melhor para procedermos com os cálculos, apesar de ambas chegarem ao mesmo resultado.

Como [tex3]\vec{CZ}=p\vec{ZA}[/tex3], fica;

[tex3]\vec{CA}=p\vec{ZA}+\vec{ZA}[/tex3]

[tex3]\vec{CA}=(p+1).\vec{ZA}[/tex3]

[tex3]\vec{ZA}=\frac{1}{p+1}\vec{CA}[/tex3] ( l l )


Substituindo ( l l ) em ( l ), temos:

[tex3]\vec{BZ}=-\vec{CB}+p.\left(\frac{1}{p+1}\vec{CA}\right)[/tex3]

Portanto,

[tex3]\vec{BZ}=\frac{p}{p+1}\vec{CA}-\vec{CB}[/tex3]


Nota

Você pode também tomar o seguinte triângulo ABC abaixo, como referência para resolver esta questão.

15507770803982852176034434363675.jpg (42.52 KiB) Exibido 3733 vezes

Bons estudos!